Idempotente Elemente ermitteln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die idempotenten Elemente des Ringes [mm]\IZ / 707[/mm]. |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe leider auf keinen grünen Zweig.
Was ich weiß:
Für ein idempotentes Element gilt [mm]e = e^2[/mm]. Zusätzlich weiß ich, dass für ein idempotentes Element [mm]e[/mm] auch [mm]\left(1-e\right)[/mm] idempotent ist.
Meine Mitstudenten und ich haben mehr oder weniger durch ausprobieren von Vielfachen der Primfaktoren von [mm]707 = 101*7[/mm] herausgefunden, dass [mm]203 = 29*7[/mm] und [mm]505 = 5*101[/mm] idempotent sind.
Aber wie löst man sowas ganz allgemein und was steckt dahinter? Die Vermutung ist, dass man auf die Faktoren irgendwie beim Rechnen mit dem (erweiterten) euklidischen Algorithmus oder dem chinesischen Restsatz kommt. Aber wie und warum?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
viele Grüße,
Leon
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mi 31.01.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Leon!
> Bestimmen Sie die idempotenten Elemente des Ringes [mm]\IZ / 707[/mm].
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider auf keinen grünen
> Zweig.
Doch, du hast die Lösung!
> Was ich weiß:
>
> Für ein idempotentes Element gilt [mm]e = e^2[/mm]. Zusätzlich weiß
> ich, dass für ein idempotentes Element [mm]e[/mm] auch
> [mm]\left(1-e\right)[/mm] idempotent ist.
>
> Meine Mitstudenten und ich haben mehr oder weniger durch
> ausprobieren von Vielfachen der Primfaktoren von [mm]707 = 101*7[/mm]
> herausgefunden, dass [mm]203 = 29*7[/mm] und [mm]505 = 5*101[/mm] idempotent
> sind.
>
> Aber wie löst man sowas ganz allgemein und was steckt
> dahinter? Die Vermutung ist, dass man auf die Faktoren
> irgendwie beim Rechnen mit dem (erweiterten) euklidischen
> Algorithmus oder dem chinesischen Restsatz kommt. Aber wie
> und warum?
Dahinter steckt der Fakt, daß Z/707 als Ring die direkte Summe der beiden KörperZ/7 und Z/101 ist, also Z/707 [mm] \cong [/mm] Z/7 [mm] \oplus [/mm] Z/101. Diese Isomorphie kommt über den chinesischen Restsatz zustande.
In Z/7 [mm] \oplus [/mm] Z/101 hast du die Idempotente (0,0), (1,0), (0,1) und (1,1). Und das sind gerade die bzw. entsprechen unter der Isomorphie gerade denen, die du auch gefunden hast.
Wenn du noch viel weiter ausholen willst, hängt das zusammen mit der Darstellung von halbeinfachen Ringen als direkte Summe von Matrizenringen über Schiefkörpern.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Danke für die prompte Antwort!
Ich habe mir das ganze nochmal angeschaut, aber verstehe leider nicht, wie man darauf kommt, dass (0,0), (1,0), (0,1) und (1,1) genau die Idempotenten sind. Kann man sagen, dass bei solchen Zerlegungen immer genau alle Kombinationen aus 0 und 1 die Idempotenten sind ? Wenn, warum ?
viele Grüße,
Leon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 31.01.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich habe mir das ganze nochmal angeschaut, aber verstehe
> leider nicht, wie man darauf kommt, dass (0,0), (1,0),
> (0,1) und (1,1) genau die Idempotenten sind. Kann man
> sagen, dass bei solchen Zerlegungen immer genau alle
> Kombinationen aus 0 und 1 die Idempotenten sind ? Wenn,
> warum ?
Wenn (x,y) ein Idempotent ist, dann muß doch [mm] (x^{2},y^{2}) [/mm] = (x,y) sein. Aber in unserem Fall sind x und y Elemente aus einem Körper, und in einem Körper folgt aus [mm] x^{2} [/mm] = x über x(x-1) = 0 sofort x = 0 oder x = 1.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
Okay, vielen Dank, hat mir sehr geholfen und habe nun verstanden wie man darauf kommt! :)
Ich hätte jetzt nur noch die Frage, wie ich von dieser Zerlegung zurück in [mm]\IZ / 707[/mm] schließe. Ich schlage mich gerade ein bisschen damit herum dass ich versuche, zwei Kongruenzgleichungen aufzustellen die ich dann auflöse. Also bei 7 * 101 , (1,1):
[mm]x = 1 \mod 7[/mm]
[mm]x = 1 \mod 101[/mm]
?
Habe das vorhin versucht, kam aber auf wirre Ergebnisse (was auch an einem Rechenfehler liegen kann, den ich gerade nicht finde).
viele Grüße,
Leon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 31.01.2007 | | Autor: | statler |
Hi Leon!
> Ich hätte jetzt nur noch die Frage, wie ich von dieser
> Zerlegung zurück in [mm]\IZ / 707[/mm] schließe. Ich schlage mich
> gerade ein bisschen damit herum dass ich versuche, zwei
> Kongruenzgleichungen aufzustellen die ich dann auflöse.
> Also bei 7 * 101 , (1,1):
>
> [mm]x = 1 \mod 7[/mm]
> [mm]x = 1 \mod 101[/mm]
Das ist ja grad das einfache Beispiel, x=1 ist die Lösung.
Nimm mal x [mm] \equiv [/mm] 1 (7) und x [mm] \equiv [/mm] 0 (101)
Das heißt x-1 = 7r und x = 101s
oder 101s -1 = 7r oder 101s - 7r = 1
Jetzt kurz den Euklid. Alg.:
101 = 7x14 + 3
7 = 2x3 + 1
gibt rückwärts 1 = 7 - 2x3 = 7 - 2x(101 - 14x7) = 29x7 - 2x101
Das sollte ich noch ein bißchen umformen:
29x7 - 2x101 = 29x7 - 2x101 - 101x7 + 7x101 = 5x101 - 72x7.
Jetzt sehe ich mein x = 101xs, du auch?
Gruß und viel Spaß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Fylosofus |
Ja, habe die Aufgabe nun komplett gelöst hingeschrieben und auch verstanden.
vielen Dank nochmals!
viele Grüße,
Leon
|
|
|
| |
|
> W und in einem Körper folgt aus [mm]x^{2}[/mm] = x
> über x(x-1) = 0 sofort x = 0 oder x = 1.
Hallo,
ich könnte mir denken, daß Du, Fylosofus, genau dies verwendet hast, um gezielt eine Lösung zu suchen, ohne alles durchprobieren zu müsen.
Ungefähr so:
x(x-1)=k*7*101.
Dann teilt 7 entweder x oder (x-1). Das geht ja schon sehr in die Richtung.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
