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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Fr 10.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
und zwar habe ich in meinem Skript die Kriterien für Ideale stehen:
Eine Teilmenge I von R ist ein Ideal, wenn gilt:
1. Bezüglich der Addition ist I eine Untergruppe von (R, 0, +)
2. Für jedes a [mm] \in [/mm] I und jedes r [mm] \in [/mm] R gilt r * a [mm] \in [/mm] I.
Im Beispiel steht, dass die ungerade ganzen Zahlen kein Ideal von den ganzen Zahlen ist, da die 2. Bedingung verletzt wird, was auch logisch ist, aber wird nicht auch die erste Bedingung verletzt, da eine Untergruppe ja auch das neutrale Element der Gruppe enthalten muss und dies nicht der Fall ist?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Fr 10.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Du hast Recht, natürlich ist die 0 auch nicht drin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 10.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, danke. Noch eine Sache:
Die durch $f(r) = r +I$ de finierte Abbildung f: R -> R/I ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern I, genannt Quotientenabbildung.
Erstmal, warum ist dies surjektiv? Ich erhalte doch für jedes r der Ausgangsmenge genau einen Wert in der Zielmenge oder nicht? Also wäre das doch bijektiv oder?
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> Ok, danke. Noch eine Sache:
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> Die durch [mm]f(r) = r +I[/mm] de finierte Abbildung f: R -> R/I ist
> ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern I, genannt
> Quotientenabbildung.
>
> Erstmal, warum ist dies surjektiv? Ich erhalte doch für
> jedes r der Ausgangsmenge genau einen Wert in der Zielmenge
> oder nicht? Also wäre das doch bijektiv oder?
Bist du dir denn darüber im Klaren, was $ r + I $ überhaupt ist? Angenommen, I ist ein nicht triviales Ideal, dann gibt es ein $ i [mm] n\in [/mm] I $, dass nicht 0 ist, dann ist aber für jedes r: f(r+i)=r+I=f(r)
somit f im Allgemeinen nicht injektiv. Betrachte dochmal das Beispiel [mm] R=\mathbb{Z} [/mm] und [mm] I=2\mathbb{Z} [/mm] Dann ist R/I zweielementig, enthält nämlich 0 und 1, wie sollte es eine Bijektion von [mm] \mathbb{Z} [/mm] drauf geben? Nur weil r nicht s ist, ist noch lange nicht [mm] r+I\neq [/mm] s + I
Aber die Surjektivität ist klar, man schnappt sich einfach irgendeinen Vertreter der Restklasse als Urbild.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 11.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Bei deinem Beispiel mit [mm] \IZ/2\IZ, [/mm] nehme ich ich ja ein Element aus dem Ideal, sprich eine gerade Zahl und ein beliebiges Element aus [mm] \IZ, [/mm] z.B. also:
[mm] (3+2\IZ)+(2+2\IZ)=(3+2\IZ)+2\IZ=3+2\IZ
[/mm]
Wenn ich nun aber f(r)=r+I habe, bilde ich doch r auf ein Element in dem Ideal ab, bei meinem Beispiel, würde ich mit:
[mm] f(2)=2+2\IZ=2\IZ=0 [/mm] oder [mm] f(13)=13+2\IZ=1
[/mm]
Nun ist aber f(2)=f(4)=f(6)=0 bzw. f(13)=f(15)=f(17)=1 und deswegen surjektiv und nicht bijektiv.
Habe ich das so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:32 So 12.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau. Wobei du natürlich immer im Hinterkopf haben solltest, dass [mm] 0=2\IZ [/mm] und [mm] 1=1+2\IZ [/mm] in [mm] \IZ/2\IZ [/mm] sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Super, habe ich verstanden!
Noch eine kurze Sache:
Sind die geraden ganzen Zahlen ein Ring? Laut unserer Definition muss 1*a=a gelten, die 1 ist aber nicht in [mm] 2\IZ [/mm] enthalten, also sind sie kein Ring oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 12.08.2012 | | Autor: | teo |
Ein kurzer Blick in Wikipedia würde dir schon eine Antwort liefern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
"Ein Beispiel eines Rings ohne Eins sind die geraden ganzen Zahlen"
Ja das steht da so, aber komme immer etwas durcheinander, weil es ja verschiedene Definitionen für einen Ring gibt. Aber habe jetzt die entscheidene Stell gefunden und bei uns wird verlangt, dass 0 und 1 Element von R sind.
Danke dennoch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Antonk,
nur mal zur Klarstellung, weil mir das bei Deinen Fragen aufgefallen ist:
Wenn man Eigenschaften [mm] $E_1,\,...,E_n$ [/mm] hat, die eine Struktur charakterisieren, und man prüfen will, ob eine andere Struktur zur obigen Struktur gehört, dann reicht es natürlich, herauszufinden, dass "mindestens" eine der Eigenschaften [mm] $E_1$ [/mm] bis [mm] $E_n$ [/mm] verletzt ist, um zu sehen, dass die zu untersuchende Struktur nicht dazugehört. Natürlich kann man auch mehrere oder andere Eigenschaften noch untersuchen, muss man dann aber nicht.
Denn: Genau dann, wenn eine Eigenschaft (im Sinne von mindestens einer) nicht gilt, gelten auch nicht alle Eigenschaften zusammen.
Bei der anderen Frage hattest Du gefragt - ob das nun wahr war, dass die genannte Funktion bijektiv war oder nicht, sei mal nicht von Bedeutung - warum man denn sage, dass eine Funktion surjektiv sei. Du meintest, sie sei doch bijektiv.
Nunja: Wenn das so ist: Jede bijektive Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist doch insbesondere surjektiv - nur umgekehrt gilt das nicht: Nicht jede surjektive Funktion ist bijektiv.
Also beachte bitte: [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv [mm] $\Rightarrow$ ($f\,$ [/mm] injektiv UND [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv) [mm] $\Rightarrow$ $f\,$ [/mm] surjektiv.
Es ist also kein Fehler, wenn jemand sagt, dass eine Funktion surjektiv ist, wenn er weiß, dass sie sogar bijektiv ist. Er sagt das dann meist nur aus dem Grund, weil für die weiteren Überlegungen die Injektivität keine Rolle spielt, sondern nur die Surjektivität.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Achja und ganz vergessen, warum hat das Ding den Kern I?
Der Kern sind ja alle Elemente, die auf die 0 abgebildet werden, indem Fall doch auf die 0+I, sprich I. Es muss also gelten f(a)=I.
Der Kern sind doch aber alle Elemente, die auf I abgebildet werden und nicht I selbst oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 12.08.2012 | | Autor: | teo |
> Achja und ganz vergessen, warum hat das Ding den Kern I?
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> Der Kern sind ja alle Elemente, die auf die 0 abgebildet
> werden, indem Fall doch auf die 0+I, sprich I. Es muss also
> gelten f(a)=I.
>
> Der Kern sind doch aber alle Elemente, die auf I abgebildet
> werden und nicht I selbst oder?
So, stimmt alles was du sagst. Wann gilt denn f(a)=I? Genau dann, wenn a + I = I also a [mm] \in [/mm] I gilt. Also:
Ker(f) = [mm] \{a\in R|f(a)=I\} [/mm] = [mm] \{a \in R|a + I = I\} [/mm] = [mm] \{a \in R|a \in I\} [/mm] = I
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 So 12.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hab ich verstanden, vielen Dank!
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