Ideale < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 14.04.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe die Frage in keinem anderem Forum vorher gestellt.
Habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Sei R der Ring der Funktionen f: [mm] \IR\to \IR, [/mm] und A [mm] \subseteq \IR [/mm] eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass IA= {f:f(x)=0 für x [mm] \varepsilon [/mm] A} ein Ideal ist, und dass die Mengen A [mm] \subsetB [/mm] stets IA [mm] \supsetIB [/mm] gilt.
Zum ersten Teil habe ich folgenden Ansatz: f(x)=0 heißt ja das IA=kern von f
Ideal heißt ja wenn für alle x [mm] \varepsilon [/mm] Ideal, y [mm] \varepsilon [/mm] Ring auch x*y und y*x [mm] \varepsilon [/mm] Ideal
x*y [mm] \varepsilon [/mm] Ideal heißt ja hier f(x*y)=0 also f(x)*f(y)=0 also 0*f(y)=0 also f(x*y )=0
Ist das soweit richtig? Zum zweiten Teil habe ich keine Idee. Weiß gar nicht was damit gemeint ist.
Wäre über Hilfe froh.
Gruß Marietta
|
|
| |
|
Hallo Marietta,
Algebra war nie meine Stärke; deshalb habe ich einige Verständnisschwierigkeiten ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") :
I) Welches sind die Verknüpfungen des Ringes? Deinem weiteren Text nach zu urteilen, handelt es sich ausschließlich um lineare Funktionen. Oder sind die Funktionen gerade so ausgewählt, dass [mm] $f(x\*y)=f(x)\*f(y)$ [/mm] gilt?
Dann wäre Deine Überlegung zu Teil 1 richtig (falls der Prof. pingelig ist, solltest Du (fast) das selbe auch noch für's Rechtideal aufschreiben).
Kommt mir aber komisch vor, da R doch aus den Funktionen und nicht aus den reelen Zahlen besteht. Ich schreibe mal, was ich für den Fall Linksideal meine (ausser, dass die SPD eins bräuchte  ):
die Verknüpfungen sind vermutlich + und * [mm] ($\left(f+g\right)(x)=f(x)+g(x)$ [/mm] und analog für *). Das heißt, dass die Nullfunktion neutrales Element für die Addition ist und die (ebenfalls) konstante Einsfunktion das neutr. El. bezüglich *.
Es ist zu zeigen:
1.) Nullfunktion [mm] $\in$ [/mm] IA. nach Definition von IA enthält IA alle Funktionen mit [mm] $x\in A\Rightarrow [/mm] f(x)=0$.
2.) $f,g [mm] \in [/mm] IA [mm] \Rightarrow [/mm] (f+g) [mm] \in [/mm] IA$. Nun - $0+0=0$.
3.)$f [mm] \in [/mm] IA, r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow (f\*r) \in [/mm] IA. 0*sonstnichtwas=0.
Nicht vergessen, Punkt 3.) auch für [mm] $(r\*f)$ [/mm] zu zeigen (Rechtsideal).
II (eher sprachliche Schwierigkeiten meinerseits): "... und dass die Mengen A stets IA gilt. " ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Es ist zwar eine Weile her, aber typischerweise wird in solchen Situationen gefragt: Zeigen sie: $A [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] IA [mm] \supset [/mm] IB$.
Kann das sein?
hoffentlich war Dir das eine kleine Hilfe (wenn meine Vermutung über (R,+,*) stimmt),
Peter
P.S.: Habe die Vorschau nicht aufrufen können, da der Server mal wieder hoffnungslos überlastet scheint. Ich bitte, "Tipfeler" zu übersehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peter!
Deine Vermutungen stimmen alle. 
(Nur die Sache mit Links- und Rechtsidealen ist hier nicht nötig, da der Ring kommutativ ist.)
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Marietta!
> Habe Probleme mit folgender Aufgabe:
> Sei R der Ring der Funktionen f: [mm]\IR\to \IR,[/mm]
Wie sieht denn dieser Ring aus?
So wie folgt:
Es gibt dort eine Addition $(f,g) [mm] \to [/mm] f+g$, wobei
$(f+g)(x) := f(x) + g(x)$
und eine Multiplikation $(f,g) [mm] \to [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g$, wobei
$(f [mm] \cdot [/mm] g) := f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x)$.
> und A
> [mm]\subseteq \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass IA=
> {f:f(x)=0 für x [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A} ein Ideal ist,
Du musst also zeigen:
0) Es gilt: $0 \in IA$ (hier ist $0$ die Nullfunktion; das ist aber trivial)
1) Sind $f,g \in IA$, so gilt auch $f-g \in IA$.
2) Ist $f \in IA$ und $g:\IR \to \IR$ beliebig, so ist auch $f \cdot g \in IA$.
Da der zugrundeliegende Ring kommutativ ist, fallen hier Links- und Rechtsideale zusammen.
zu 1):
Sind $f,g \in IA$, so gilt:
$f(x) = 0$ für alle $x \in A$ und $g(x)=0$ für alle $x \in A$.
Frage an dich:
Warum gilt dann auch $(f+g)(x)=0$ für alle $x \in A$?
(Tipp: Schau dir die Definition von $f+g$ mal an...)
zu 2):
Sind $f \in IA$ und $g : \IR \to \IR$ beliebig, so gilt:
$(f \cdot g)(x) = \underbrace{f(x)}_{=\, 0} \cdot g(x) = 0$
für alle $x \in A$, also: $f \cdot g \in IA$.
> und dass die
> Mengen A [mm]\subsetB[/mm] stets IA [mm]\supsetIB[/mm] gilt.
Nun, es gelte also $A [mm] \subset [/mm] B$ und es sei $f [mm] \in [/mm] IB$ beliebig gewählt. Dann gilt:
$f(x) =0$ für alle $x [mm] \in [/mm] B$,
Zu zeigen ist: $f [mm] \in [/mm] IA$, also:
$f(x) = 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] A$.
Na? ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ?
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Danke schon mal für eure Hilfe. Bei meiner Frage ist echt etwas schief gegangen: der zweite Teil sollte in der Tat lauten: Zu zeigen, dass für A [mm] \subset [/mm] B stets IA [mm] \supset [/mm] IB gilt. Diesen Teil habe ich jetzt immer noch nicht verstanden. Ich weiß ja gar nicht wie das Ideal IB aussieht. Wiso gilt da f(x)=0 für alle x element B.
Zum ersten Teil: (f+g)(x) = 0 gilt weil das ja gleich f(x)+g(x) = 0+0 = 0 ist.
Gruß Marietta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich glaube ich stehe gerade auf dem Schlauch: wenn IB genauso aussieht wie IA und A eine Teilmenge von B ist, dann muss doch auch IA eine Teilmenge von IB sein und nicht umgekehrt.
Gruß Marietta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Marietta!
Also es gilt: $A [mm] \subset [/mm] B$.
Zu zeigen ist: $IB [mm] \subset [/mm] IA$.
Es sei $f [mm] \in [/mm] IB$ beliebig gewählt. Dann gilt:
$f(x) = 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] B$.
Wegen $A [mm] \subset [/mm] B$ gilt also erst recht
$f(x) = 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] A$.
Dies bedeutet: $f [mm] \in [/mm] IA$,
womit $IB [mm] \subset [/mm] IA$ gezeigt wäre.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Marietta |
Danke! Ich habe es verstanden...
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
