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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Di 20.05.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Betrachtet die Ideale a:=<12>, b:=<9> [mm] \subseteq \IZ [/mm] und [mm] c:=, d:= \subseteq[T].
[/mm]
Berechne für jedes der folgende Ideale einen Erzeuger.
a+b, a [mm] \cap [/mm] b, c+d, cd |
die ertsen 3 habe ich folgende lösung:
<12>+<9>=<3> ( man schaut einfach ggT(12,9)=3)
<12> [mm] \cap [/mm] <3>=<36> ( gkV(12,3)=36)
[mm] +=
[/mm]
und zu der letzte weiß ich nicht was ich da genau machen soll.
ich habe in internet folgend gelesen das: sei I,J Ideale dann gilt für das Produkt der Ideale
[mm] IJ=\{\summe a_i \cdot b_i| a_i \in I,b_i \in J\}
[/mm]
wenn ich das produkt betrachte dann wäre für [mm] T^2 \cdot(T^2-T)=T^4-T^3, [/mm] ich weiß dann nicht was ich dann machen soll. kann mir jemand einen tipp geben?
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Hallo mimo,
> Betrachtet die Ideale a:=<12>, b:=<9> [mm]\subseteq \IZ[/mm] und
> [mm]c:=, d:= \subseteq[T].[/mm]
Da fehlt leider ein Ring $R$, über dem die Polynome bei c und d betrachtet werden. Sieh noch einmal in der Aufgabe nach und ergänze den Ring, aus dem c und d stammen.
> Berechne für jedes der
> folgende Ideale einen Erzeuger.
>
> a+b, a [mm]\cap[/mm] b, c+d, cd
> die ertsen 3 habe ich folgende lösung:
>
> <12>+<9>=<3> ( man schaut einfach ggT(12,9)=3)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> <12> [mm]\cap[/mm] <3>=<36> ( gkV(12,3)=36)
> [mm]+=[/mm]
Das ist zwar richtig, aber hast du einen Beweis anzubieten?
> und zu der letzte weiß ich nicht was ich da genau machen
> soll.
> ich habe in internet folgend gelesen das: sei I,J Ideale
> dann gilt für das Produkt der Ideale
> [mm]IJ=\{\summe a_i \cdot b_i| a_i \in I,b_i \in J\}[/mm]
Diese Beschreibung ist i.Allg. wenig hilfreich. Kennst du das Komplexprodukt aus der Gruppentheorie? [mm] $I\cdot [/mm] J$ ist das vom Komplexprodukt erzeugte Ideal. Kommst du damit weiter?
> wenn ich das produkt betrachte dann wäre für [mm]T^2 \cdot(T^2-T)=T^4-T^3,[/mm]
> ich weiß dann nicht was ich dann machen soll. kann mir
> jemand einen tipp geben?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:43 Di 20.05.2014 | | Autor: | mimo1 |
leider sag mir das komplexprodukt nichts. gibt es keine andere Möglichkeit diese zu lösen?
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Hallo,
https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexprodukt
ich bezweifle ernsthaft, dass das unbekannt ist. Wie habt ihr denn sonst Faktorgruppen definiert?
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Auch wenn das hier wahrscheinlich nicht der Fall ist, kann man natürlich durchaus Faktorgruppen ohne überhaupt irgendeine Art von Multiplikation definieren, [mm] $G\longrightarrow [/mm] G/H$ ist einfach der Kolimes (der Koegalisator) des Diagrammes [mm] $H\underset{0}{\overset{i}{\rightrightarrows}} [/mm] G$, wobei $i$ die Inklusion und $0$ der Homomorphismus, welcher alles auf 1 sendet, ist.
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Koegalisator.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 24.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 24.05.2014 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen,
> > und zu der letzte weiß ich nicht was ich da genau machen
> > soll.
> > ich habe in internet folgend gelesen das: sei I,J
> Ideale
> > dann gilt für das Produkt der Ideale
> > [mm]IJ=\{\summe a_i \cdot b_i| a_i \in I,b_i \in J\}[/mm]
>
> Diese Beschreibung ist i.Allg. wenig hilfreich. Kennst du
> das Komplexprodukt aus der Gruppentheorie? [mm]I\cdot J[/mm] ist das
> vom Komplexprodukt erzeugte Ideal. Kommst du damit weiter?
da das offenbar nicht weiterhilft, hier eni einfach zu beweisendes Lemma:
Ist $R$ ein kommutativer Ring und sind $I$ und $J$ Ideale, so dass $I$ von [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] und $J$ von [mm] $b_1, \dots, b_m$ [/mm] erzeugt wird, so wird $I [mm] \cdot [/mm] J$ von [mm] $a_1 b_1, \cdots, a_1 b_m$, $a_2 b_1, \dots, a_2, b_m$, $\ldots$, $a_n b_1, \dots, a_n b_m$ [/mm] erzeugt.
Bei dieser Aufgabe liefert es direkt den gesuchten Erzeuger. In diesem Fall (Produkt von Hauptidealen) kann man jedoch mit der Definition noch viel einfacher zeigen, dass das Produkt wieder ein Hauptideal ist (erzeugt vom Produkt der Erzeuger).
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das kgV von 12 und 3 ist aber nicht 36!
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