INT[1/(x²+1)] = tan^(-1)(x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
kann mich nicht mehr an die Herleitung erinnern, meine aber, schon davon gehört zu haben...
Gibt es eigentlich irgendeien allgemeine Herangehensweise für sowas? Man muss ja schon echt GLÜCK haben, damit beim Substituieren das x auch ganz wegfällt... Dies wäre hier nur der Fall, wenn ich den Bruch mal 2x nehmen würde - dann würde nämlich 2x/dz=1 werden und ich könnte schön zu ln(z) integrieren.
Darf ich eigentlich [mm] \bruch{1}{2xz} [/mm] nach z integrieren und das z dann wieder austauschen? Dann komme ich zwar noch lange nicht auf arctan, aber mal allgemein gefragt...
Vielen Dank
Oli
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Hallo Oliver,
mit "gemischten Termen" integrieren geht nicht, es muss schon alles substituiert werden bzw. sich beim Ersetzen wegkürzen.
Um [mm] $\int{\frac{1}{x^2+1} \ dx}$ [/mm] zu berechnen, substituiere [mm] $x:=\tan(u)$
[/mm]
Dann ist [mm] $x'=\frac{dx}{du}=\frac{1}{\cos^2(u)}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{du}{\cos^2(u)}$
[/mm]
Also bekommst du [mm] $\int{\frac{1}{1+\tan^2(u)} \ \frac{du}{\cos^2(u)}}$
[/mm]
Nun ein bissl die alten trigonometrischen Regeln rauskramen und umformen:
[mm] $1+\tan^2(u)=1+\frac{\sin^2(u)}{\cos^2(u)}=\frac{\cos^2(u)+\sin^2(u)}{\cos^2(u)}$
[/mm]
Da kürzt sich das [mm] $\cos^2(u)$ [/mm] im Integral schön weg und [mm] $\sin^2(u)+\cos^2(u)=1$
[/mm]
Es bleibt also nur: [mm] $\int{\frac{1}{1+\tan^2(u)} \ \frac{du}{\cos^2(u)}}=\int{1 \ du}=u [/mm] \ + \ c$
Rücksubstitution: mit [mm] $x=\tan(u)$ [/mm] ist [mm] $u=\tan^{-1}(x)$
[/mm]
Also [mm] $\int{\frac{1}{x^2+1} \ dx}=\tan^{-1}(x) [/mm] \ + \ c$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Mo 18.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Puh, jetzt sag mal, wärst du darauf gekommen, wenn es nicht irgendjemand mal entdeckt hätte? ;)
Und das ist ja nun wirklich noch ein einfacher Term. Wenn ich da unten jetzt nur noch ein einfaches x³ hinzufüge, spuckt Derive ja echt einen abenteuerlichen Term raus...
Gibt es da echt keine "Universallösung" für? [mm] x^3+x^2+1 [/mm] ist ja ein wirklich verdammt einfacher Term, warum macht einem der Kehrwert dann so wahnsinnig zu schaffen?
Wie WÜRDE man den auf die ganzen vierstelligen Zahlen und die endlosen Wurzeln aus 93 kommen, die Derive über mehrere Zeilen verteilt als Integral eben jener Funktion anzeigt? Irgendjemand muss so ein Programm schliesslich auch mal geschrieben haben und ihm gesagt haben, wie er vorgehen soll ;)
Besser, man denkt garnicht drüber nach und hofft, dass man sowas nie ohne PC berechnen muss in der Klausur ;)
Oli
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Da gibt es eine hübsche Internetseite, die hier auch irgendwo im Forum steht, mit der man sieht, wie man vorzugehen hat:
http://www.calc101.com/webMathematica/Integrale.jsp#topdoit
Bei solchen gebrochenrationalen Funktionen ist es meistens so, dass du erst Polynomdivision durchführst und dann vom Restbruch die Nullstellen ausfindig machst, dann Partialbruchzerlegung und dann jeden Term einzeln integrieren.
Also für gebrochenrationale Brüche gibt es immer eine eindeutige Vorgehensweise, auch ohne dass man mit Tangens substituiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo oli!
Man kann sich hier die Aufgabe für [mm] $\integral{\bruch{1}{1+x^2} \ dx}$ [/mm] etwas vereinfachen, wenn man die andere Form der Ableitung für die tan-Funktion wählt mit:
[mm] $$\left[ \ \tan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 1+\tan^2(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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