IB.Binomialkoeffizient+Potenz < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ = [mm] \pmat{ n+1 \\ 2 } [/mm] ² |
Hallo,
immer wieder die Induktionsbeweise. Eigentlich finde ich Induktionsbeweise schon machbar, was mich aber hier verwirrt ist das ² . Irgendwie weiß ich nicht, wie ich den Binomialkoeffizienten mit der Potenz auf lösen soll.
Induktionsanfang: [mm] \pmat{ 2 \\ 2 } [/mm] ² = 1² = 1 (stimmt das schonmal überhaupt?) und 1³ = 1
Induktionsschluss:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k³ = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ + (n+1)³
= [mm] \pmat{ n+1 \\ 2 } [/mm] ² + (n+1)³
= [mm] \bruch{(n+1)!}{2!*(n-1)!} [/mm] + (n+1)³ ... ja und dann scheitere ich schon
für die "rechte" Seite komme ich bis zu [mm] \bruch{(n+2)!}{2!*n!}²
[/mm]
Danke für eure Hilfe!
|
|
| |
|
Hallo Carolinchen!
Ich glaube, Du hast das "große Quadrat" beim Einsetzen der Induktionsvoraussetzung vergessen.
Aber vielleicht funktioniert der Nachweis etwas leichter, wenn Du Dir folgende Gleichheit klar machst:
[mm] $$\vektor{n+1\\2}^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[\bruch{(n+1)*n}{1*2}\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2*(n+1)^2}{4}$$
[/mm]
Damit musst Du im Induktionsschritt also zeigen:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n+1}k^3 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n+2\\2}^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
