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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Do 10.09.2009 | | Autor: | Skyler |
| Aufgabe | [mm] G = { x\in\IR^4 | x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm] E = { x\in\IR^4 | x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] H = { x\in\IR^4 | x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
a) Bestimmen SIe den Schnittpunkt S von G mit E
b) Bestimmen SIe den FUßpunkt des Lotes von S auf H und geben SIe den ABstand von S zu H an |
Guten ABend zusammen!
Ich habe leider ein generelles Problem mit Ebenen und Geraden im [mm] R^4 [/mm] da ich sie mir sehr schwer vorstellen kann! Ich weiß leider auch nicht wie ich das Kreuzprodukt von Hyperebenen bilden muss. Es wäre super wenn ihr mir Hilfestellung zur Vorgehensweise geben könntet!
Vielen Dank und Grüße
Skyler
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Hallo Skyler,
> [mm]G = { x\in\IR^4 | x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]E = { x\in\IR^4 | x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]H = { x\in\IR^4 | x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> a) Bestimmen SIe den Schnittpunkt S von G mit E
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> b) Bestimmen SIe den FUßpunkt des Lotes von S auf H und
> geben SIe den ABstand von S zu H an
> Guten ABend zusammen!
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> Ich habe leider ein generelles Problem mit Ebenen und
> Geraden im [mm]R^4[/mm] da ich sie mir sehr schwer vorstellen kann!
> Ich weiß leider auch nicht wie ich das Kreuzprodukt von
> Hyperebenen bilden muss. Es wäre super wenn ihr mir
> Hilfestellung zur Vorgehensweise geben könntet!
Vorgehensweise bei a) ist das Gleichsetzen vvon g mit E.
Das Kreuzprodukt ist nur im [mm]\IR^{3}[/mm] definiert.
Um Teil b) zu lösen, kannst Du natürlich einen Normalenvektor bestimmen,
der zu allen 3 Richtungsvektoren von H orthogonal sein muß.
Zu lösen ist demnach
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \* \overrightaarow{n}=0[/mm]
[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \* \overrightaarow{n}=0[/mm]
[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \* \overrightaarow{n}=0[/mm]
mit [mm]\overrightarrow{n}=\pmat{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \\ n_{4}}[/mm]
Und dann kannst Du die Gerade
[mm]i:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda*\overrightarrow{n}[/mm]
mit der Ebene
[mm]H:\left(\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
schnneiden.
>
> Vielen Dank und Grüße
>
> Skyler
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Do 10.09.2009 | | Autor: | Skyler |
super danke soweit!
also teil a hab ich verstanden die erstellung des normalenvektors auch. doch die schreibweise der ebene ist mir noch nicht ganz klar?
ebene mit gerade schneiden mache ich dann wieder durch gleichsetzen oder?
gruß
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Hallo Skyler,
> super danke soweit!
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> also teil a hab ich verstanden die erstellung des
> normalenvektors auch. doch die schreibweise der ebene ist
> mir noch nicht ganz klar?
> ebene mit gerade schneiden mache ich dann wieder durch
> gleichsetzen oder?
Das geht hier einfacher.
Wenn Du den Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] hast,
dann ist ja die Ebenengleichung gegeben durch
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
,wobei [mm]\overrightarrow{p}[/mm] der Stützvektor der Ebene ist.
Setze dann die Gerade i in diesen Ebenegleichung ein.
Diese löst Du dann nach dem Paramter [mm]\lambda[/mm] auf.
>
> gruß
Gruss
MathePower
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