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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Hyperebene, Kern

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Hyperebene, Kern: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:07 So 26.08.2012
Autor:	quasimo

Aufgabe

 Sei V ein vektorraum und [mm] \alpha, \beta \in [/mm] V* zwei nicht triviala lineare Funktionale, [mm] \alpha \not= [/mm] 0, [mm] \beta \not=0. [/mm] Zeige, dass die beiden Hyperebenen [mm] ker(\alpha) [/mm] und [mm] ker(\beta) [/mm] genau dann übereinsteimmen, wenn [mm] \lambda \in \IK [/mm] existiert, sodass [mm] \beta [/mm] = [mm] \lambda \alpha. [/mm] 

ZZ.: [mm] ker(\alpa) [/mm] = [mm] ker(\beta) [/mm] <=> [mm] \exists \lambda \in \IK: \beta [/mm] = [mm] \lambda \alpha [/mm]

[mm] <=\exits \lambda \in \IK: \beta [/mm] = [mm] \lambda \alpha [/mm]
[mm] ker(\alpha) [/mm] = [mm] \{ v \in V : \alpha(v)=0 \} [/mm]
[mm] ker(\beta)=\{ v \in V: (\lambda \alpha) (v) =0 \} [/mm]
[mm] 1)\forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V, v [mm] \in ker(\alpha) [/mm]
[mm] \alpha(v)=0 [/mm]
[mm] (\lambda \alpha) [/mm] (v) = [mm] \lambda \alpha [/mm] (v) = [mm] \lambda [/mm] * 0 =0
=> [mm] ker(\alpha) \subseteq ker(\beta) [/mm]
2) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V, v [mm] \in ker(\beta) [/mm]
[mm] \lambda (\alpha) [/mm] (v) [mm] =(\lambda \alpha) [/mm] (v)=0
Wenn [mm] \lambda \not=0 [/mm] dann [mm] \alpha(v)=0 [/mm]
=> [mm] ker(\alpha) \supseteq ker(\beta) [/mm]
FRAGE: Wenn [mm] \lambda [/mm] =0 Was mach ich dann?

=>
[mm] ker(\alpha) [/mm] = [mm] ker(\beta) [/mm]
v [mm] \in ker(\alpha) [/mm]
[mm] (\lambda \alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm] (v) = [mm] \lambda \alpha(v) [/mm] - [mm] \beta(v) =\lambda [/mm] 0 + 0=0
Also für v [mm] \in ker(\alpha) [/mm] gilt [mm] \beta= \lambda \alpha [/mm]
FRAGE: Weiter weiß ich nicht.

LG,
quasimo

Bezug

Hyperebene, Kern: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	07:59 Mo 27.08.2012
Autor:	hippias

> Sei V ein vektorraum und [mm]\alpha, \beta \in[/mm] V* zwei nicht
> triviala lineare Funktionale, [mm]\alpha \not=[/mm] 0, [mm]\beta \not=0.[/mm]
> Zeige, dass die beiden Hyperebenen [mm]ker(\alpha)[/mm] und
> [mm]ker(\beta)[/mm] genau dann übereinsteimmen, wenn [mm]\lambda \in \IK[/mm]
> existiert, sodass [mm]\beta[/mm] = [mm]\lambda \alpha.[/mm]
>
> ZZ.: [mm]ker(\alpa)[/mm] = [mm]ker(\beta)[/mm] <=> [mm]\exists \lambda \in \IK: \beta[/mm]
> = [mm]\lambda \alpha[/mm]
>
> [mm]<=\exits \lambda \in \IK: \beta[/mm] = [mm]\lambda \alpha[/mm]
>
> [mm]ker(\alpha)[/mm] = [mm]\{ v \in V : \alpha(v)=0 \}[/mm]
>  [mm]ker(\beta)=\{ v \in V: (\lambda \alpha) (v) =0 \}[/mm]
>
> [mm]1)\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V, v [mm]\in ker(\alpha)[/mm]
>  [mm]\alpha(v)=0[/mm]
>  [mm](\lambda \alpha)[/mm] (v) = [mm]\lambda \alpha[/mm] (v) = [mm]\lambda[/mm] * 0
> =0
>  => [mm]ker(\alpha) \subseteq ker(\beta)[/mm]

>  2) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V, v
> [mm]\in ker(\beta)[/mm]
>   [mm]\lambda (\alpha)[/mm] (v) [mm]=(\lambda \alpha)[/mm]
> (v)=0
>  Wenn [mm]\lambda \not=0[/mm] dann [mm]\alpha(v)=0[/mm]
>  => [mm]ker(\alpha) \supseteq ker(\beta)[/mm]

>  FRAGE: Wenn [mm]\lambda[/mm]
> =0 Was mach ich dann?

In diesem Falle waere eine Voraussetzung an [mm] $\beta$ [/mm] verletzt.

>
> =>
>  [mm]ker(\alpha)[/mm] = [mm]ker(\beta)[/mm]
>  v [mm]\in ker(\alpha)[/mm]
>  [mm](\lambda \alpha[/mm] - [mm]\beta)[/mm] (v) = [mm]\lambda \alpha(v)[/mm]
> - [mm]\beta(v) =\lambda[/mm] 0 + 0=0
>  Also für v [mm]\in ker(\alpha)[/mm] gilt [mm]\beta= \lambda \alpha[/mm]
>
> FRAGE: Weiter weiß ich nicht.

ANTWORT: Wie waere es und Du zerlegst $V$ in eine direkte Summe des Kerns und einem Komplement und betrachtest dann die Einschraenkungvon [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] auf diesem Komplement?
>
> LG,
>  quasimo