Hopf-Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:56 So 01.07.2007 | | Autor: | Thommyh85 |
| Aufgabe | Hopf-Abbildung
i) Für [mm]h_{1},h_{2}\in |H[/mm] gilt [mm](h_{1}h_{2})^{\*}=h_{2}^{\*}h_{1}^{\*}[/mm]
ii) Es sei [mm]q\in Im(|H )[/mm]. Man zeige: Die Abbildung [mm]H_{q}: |H \to |H [/mm] mit [mm]H_{q}(h)=hqh^{\*}[/mm] bildet [mm]|H[/mm] surjektiv auf [mm]Im(|H )[/mm] ab. |
Kurze Erläuter vorweg: [mm]|H[/mm] soll das Mengenzeichen für H sein, aber irgendwie funktioniert das im Formeleditor nicht mit Backslash IH...
So jetzt meine Frage dazu: Ich habe das Problem, dass ich gar nicht kapiert habe, was die Hopf-Abbildung ist. Auch im Netz habe ich dazu nichts finden können. Es wäre also toll, wenn mir jemande erklären könnte, was das genau ist. Dann könnte ich vielleicht etwas mit der Aufgabe anfangen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
was soll denn [mm] \mathbb{H} [/mm] sein?
Der Schiefkörper der Quaternionen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Thommyh85
> Hopf-Abbildung
> i) Für [mm]h_{1},h_{2}\in \mathbb{H}[/mm] gilt [mm](h_{1}h_{2})^{\*}=h_{2}^{\*}h_{1}^{\*}[/mm]
> ii) Es sei [mm]q\in Im(\mathbb{H} )[/mm].[/mm] Man zeige: Die Abbildung [mm]H_{q}: \mathbb{H} \to \mathbb{H} [/mm] mit [mm]H_{q}(h)=hqh^{\*}[/mm] bildet [mm]\mathbb{H}[/mm] surjektiv auf [mm]Im(\mathbb{H})[/mm] ab.
> Kurze Erläuter vorweg: [mm]|H[/mm] soll das Mengenzeichen für H sein, aber irgendwie funktioniert das im Formeleditor nicht mit Backslash IH...
Nimm \mathbb{H}, das ergobt [mm]\mathbb{H}[/mm].
> So jetzt meine Frage dazu: Ich habe das Problem, dass ich gar nicht kapiert habe, was die Hopf-Abbildung ist. Auch im Netz habe ich dazu nichts finden können. Es wäre also toll, wenn mir jemande erklären könnte, was das genau ist. Dann könnte ich vielleicht etwas mit der Aufgabe anfangen...
Klaer uns doch mal auf: was genau ist [mm] $\mathbb{H}$. [/mm] Du nimmst sowohl Elemente daraus als auch redest du vom Bild von [mm] $\mathbb{H}$. [/mm] Ist es jetzt eine Abbildung oder eine Menge? Und wenn es eine Abbildung ist, von wo nach wo geht es und wie ist es definiert?
Wenn du uns nicht mit mehr Informationen ausstattest, koennen wir dir nicht helfen.
Wenn ich nach ``Hopf-Abbildung'' oder ``hopf map'' google, finde ich ziemlich viele Treffer. Aber die beschreiben anscheinend etwas anderes als was du suchst, oder wie meinst du das mit ``Auch im Netz habe ich nichts finden koennen''?
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:27 So 01.07.2007 | | Autor: | Thommyh85 |
So also ich hätte mal ein bisschen besser im Skript lesen sollen... Es ist nur so, dass mein Prof nie das Wort "Hopf-Abbildung" in den Mund genommen hat, und ich deshalb recht ratlos war. Außerdem bin ich eh ein wenig nervös, weil das der letzte Zettel ist, und ich noch bei 48% bin...
Also, zunächst einmal beschriebe ich was [mm] \mathbb{H} [/mm] ist:
[mm]\mathbb{H}= {
\pmat{a&b\\-\overline{b}&\overline{a}} | a,b \in \IC}
[/mm]
Dann haben wir also für [mm]h^{\*}=
\pmat{\overline{a} & -b \\ \overline{b} & a}
[/mm]
So Aufgabenteil i) war dann ganz einfach, man musste das nur ausrechnen. Nur bei ii) habe ich jetzt noch Probleme. Wir zeige ich denn die Surjektivität? Ich muss doch zeigen, dass jedes Bild ein Urbild hat, nicht wahr?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> So also ich hätte mal ein bisschen besser im Skript lesen
> sollen... Es ist nur so, dass mein Prof nie das Wort
> "Hopf-Abbildung" in den Mund genommen hat, und ich deshalb
> recht ratlos war. Außerdem bin ich eh ein wenig nervös,
> weil das der letzte Zettel ist, und ich noch bei 48%
> bin...
>
> Also, zunächst einmal beschriebe ich was [mm]\mathbb{H}[/mm] ist:
> [mm]\mathbb{H}= \{
\pmat{a&b\\-\overline{b}&\overline{a}} | a,b \in \IC \}
[/mm]
>
> Dann haben wir also für [mm]h^{\*}=
\pmat{\overline{a} & -b \\ \overline{b} & a}
[/mm]
Also doch die Hamiltonschen Quaternionen. :)
> So
> Aufgabenteil i) war dann ganz einfach, man musste das nur
> ausrechnen. Nur bei ii) habe ich jetzt noch Probleme. Wir
> zeige ich denn die Surjektivität? Ich muss doch zeigen,
> dass jedes Bild ein Urbild hat, nicht wahr?
Ja. Damit wir dir hier konkret weiterhelfen koennen musst du uns allerdings noch verraten, was [mm] $Im(\mathbb{H})$ [/mm] sein soll.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:07 So 01.07.2007 | | Autor: | Thommyh85 |
Also [mm]Im[/mm] bezeichnet den Imaginärteil.
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> Also [mm]Im[/mm] bezeichnet den Imaginärteil.
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Hallo,
kannst Du das genauer erklären? Wie ist das definiert?
Bei Deinem "Imaginärteil" handelt es sich ja wohl um eine Teilmenge von [mm] \mathbb{H}.
[/mm]
Welche Matrizen sind da drin?
Gruß v. Angela
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