Homomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:16 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Bashball |
| Aufgabe | Frage: Finden Sie einen Homomorphismus A: [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2, [/mm] ausgedrückt durch eine Matrix A ε R^(2x2), mit folgender Eigenschaft:
Ke(A) = [mm] {\pmat{ x \\ -x}: x \varepsilon R}
[/mm]
und
Bi(A) = [mm] {\pmat{ 0 \\ 2x}: x \varepsilon R} [/mm] |
Hallo,
könnte mir vielleicht jemand von dieser Aufgabe die Lösung schreiben und erklären, wie man darauf kommt? Habe damit so meine Problemchen...
Viele Grüße
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Lieber Bashball
Lösungen bekommst du im Matheraum eher nicht. Matheraum ist eine Plattform für Hilfe nicht für Musterlösungen.
Aber ich kann dir gerne auf die Sprünge helfen - oder es zumindest versuchen:
Überleg dir, was ein Homomorphismus ist, wie du von einer 2x2 Matrix zu ihrem Kern oder ihrem Bild kommst und zäume dann das Pferd von hinten auf. Der Weg geht einfach vom Bild bzw. Kern zurück zur Ursprungsmatrix.
Hilft dir das weiter? (Falls nicht, zeige hier wenigstens, dass du weisst, wie man von der Matrix zum Kern bzw. zum Bild kommt), dann können wir weiter schauen.)
Liebe Grüsse
Cassiopaya
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Bashball |
Okay, das hilft mir schon weiter.
Also ich weiß, dass der Kern alle Vektoren beschreibt die auf den 0 Vektor abgebildet werden.
Ich könnte jetzt also sagen:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm] = Ke(A) = [mm] \pmat{ x \\ -x }
[/mm]
Aber wie is der nächste Schritt?
Hab ich das richtig vestanden, dass ich über den Kern die Ausgangsmatrix und über das Bild die Abgebildete Matrix erhalte?
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> Hab ich das richtig vestanden, dass ich über den Kern die
> Ausgangsmatrix und über das Bild die Abgebildete Matrix
> erhalte?
Nicht ganz. Du suchst ja eine lineare Abbildung, die die beschriebenen Eigenschaften hat. Du suchst also eine Matrix, die dir - als Abbildung - diese Eigenschaften liefert.
Hast du schon mal was vom Homomorphiesatz gehört?
Der wäre: Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Dann gilt:
V/Kern(f) [mm] \cong [/mm] Bild(f)
Siehst du den Ansatz nun?
Gruss
Cassiopaya
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> Also ich weiß, dass der Kern alle Vektoren beschreibt die
> auf den 0 Vektor abgebildet werden.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Ich könnte jetzt also sagen:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm] = Ke(A) = [mm]\pmat{ x \\ -x }[/mm]
Nein, das ist [mm] \text{Blödsinn}^3, [/mm] gewürzt mit Wahrheiten.
Der Kern besteht in Deinem Beispiel aus Vektoren der Gestalt [mm] \lambda\vektor{1\\-1}, [/mm] es ist also [mm] \vektor{1\\-1} [/mm] eine Basis des Kerns, dh. [mm] \vektor{1\\-1} [/mm] und all seine Vielfachen werden durch die Matrix A auf den Nullvektor abgebildet.
Wenn ich jetzt mal den von Dir versuchten Ansatz aufgreife, so bekomme ich
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }*\vektor{1\\-1}=\vektor{0\\0}
[/mm]
<==> [mm] \vektor{a-b\\c-d}=\vektor{0\\0}.
[/mm]
Hieraus erhältst Du erste Informationen über die Einträge der Matrix.
Weiter war gefordert
> > > Bi(A) = $\ [mm] {\pmat{ 0 \\ 2x}: x \varepsilon R\} [/mm] $
Es hat also jedes Element des Bildes die Gestalt [mm] \mu\vektor{0\\2}. \vektor{0\\2} [/mm] ist eine Basis des Bildes - wie übrigens auch [mm] \vektor{0\\1}.
[/mm]
Was sagt uns das? Für jeden beliebigen Vektor [mm] \vektor{x\\y} [/mm] gilt: [mm] A\vektor{x\\y}=\lambda\vektor{0\\2}. [/mm]
Wenn Du dies auschlachtest und dabei nicht vergißt, daß es für jeden beliebigen Vektor [mm] \vektor{x\\y} [/mm] gilt, hast Du alle Informationen, die Du benötigst, um eine Matrix A zu finden, die tut, was sie tun soll (- es behauptet ja kein Mensch, daß es nur eine einzige solche Matrix unter der Sonne gibt).
Die Sache mit dem Bild kannst Du auch etwas elegenater gestalten: da für jeden beliebigen Vektor [mm] \vektor{x\\y} [/mm] gilt: [mm] A\vektor{x\\y}=\lambda\vektor{0\\2}, [/mm] gilt das insbesondere für den Vektor, der die Basis des Kerns zu einer Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ergänzt... (So etwas in der Art hat Dir Cassiopaya gesagt.)
> Hab ich das richtig vestanden, dass ich über den Kern die
> Ausgangsmatrix und über das Bild die Abgebildete Matrix
> erhalte?
Nein. Es gibt hier keine Ausgangsmatrix und schon gar keine abgebildete Matrix. Die Abbildung um die es hier geht, bildet in einer bestimmten Art und Weise Vektoren des [mm] \IR^2 [/mm] auf Vektoren des [mm] \IR^2 [/mm] ab:
[mm] x\mapsto [/mm] Ax.
Gesucht ist die darstellende Matrix A dieser Abbildung.
Gruß v. Angela
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