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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:05 Do 23.11.2006 | | Autor: | Mini273 |
| Aufgabe | a) Sei [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] beliebig und [mm] t_{ij} \in S_{n} [/mm] eine Transposition. Z.z.: [mm] \sigma t_{ij} \sigma^{-1} [/mm] = [mm] t_{\sigma(i) \sigma(j)} [/mm] gilt.
b) Folgern Sie daraus, dass der Homomorphismus sign: [mm] S_{n} \to {\pm 1} [/mm] einen Isomorphismus sign' : [mm] S_{n} [/mm] / N [mm] \to {\pm 1} [/mm] induziert. (N [mm] \subset S_{n} [/mm] ein Normalteiler) |
Hallo,
ich hab einige Schwierigkeiten der Aufgabe, vor allem bei der b), und ich würde mich freuen, wenn mir jemand etwas helfen kann....
Bei der a) denk ich das ich die Lösung habe, ich hab folgendes gemacht:
Z.z. : [mm] (\sigma [/mm] (ij) [mm] \sigma^{-1})(k) [/mm] = [mm] (\sigma(i) \sigma(j)) [/mm] (k) für [mm] k=\sigma(i), \sigma(j) [/mm] (das ist die Behauptung in Zykelschreibweise)
1.Fall: Sei k= [mm] \sigma(j) [/mm] .
links: [mm] (\sigma [/mm] (ij) [mm] \sigma^{-1}) \sigma(j) [/mm] = [mm] \sigma [/mm] (ij) [mm] (\sigma^{-1} \sigma(j)) [/mm] = [mm] \sigma [/mm] (ij) (j) = [mm] \sigma(i)
[/mm]
rechts: [mm] (\sigma(i) \sigma(j)) \sigma(j) [/mm] = [mm] \sigma(i)
[/mm]
Analog für k = [mm] \sigma(i)
[/mm]
2.Fall: Sei k [mm] \not= \sigma(i), \sigma(j) [/mm]
Sei k = [mm] \sigma(m) [/mm] mit m [mm] \not= [/mm] i,j, m [mm] \in [/mm] {1,....,n}
links: [mm] (\sigma [/mm] (ij) [mm] \sigma^{-1}) \sigma(m) [/mm] = [mm] (\sigma [/mm] (ij) m) = [mm] \sigma(m) [/mm] = k
rechts: [mm] (\sigma(i) \sigma(j)) [/mm] k = k
Also folgt daraus die Behauptung, stimmt das so?
zur b): Da bin ich mir unsicher, wie ich das gemacht habe.
Der Hom. sign [mm] S_{n} \to {\pm 1} [/mm] ist doch diese Abb. n [mm] \mapsto (-1)^{n} [/mm] oder? Diese ist offenbar surjektiv. Das N in der Abb. sign' ist der kern(sign) = { [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] | [mm] sign(\sigma) [/mm] = 1}.
In der Vorlesung hatten wir den Satz: Der kern jedes Hom. ist ein Normalteiler)
Nach dem Homomorphiesatz folgt doch nun, dass sign' ein Isomorphismus ist oder?
Ich danke schonmal für die Hilfe.
Liebe Grüße,
Mini273
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 29.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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