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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:20 So 17.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo hab mal ne Frage zu Homomorphismen:
Ich soll beweisen, dass g(n):=n*a, a [mm] \in [/mm] H ein Homomorphismuss von ( [mm] \IN [/mm] ,+) nach (H,+) ist.
(* ist hier ein Multiplikationszeichen)
Meines Wissens nach müssen dafür zwei Dinge gelten,
1.) g ist eine Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach H. (aber wie zeigt man dass?)
2.) es muss gelten für 2 beliebige Elemente x,y aus [mm] \IN [/mm] muss gelten:
g(x+y)=(x+y)*a=x*a+y*a=g(x)+g(y)
kann ich dies einfach so aufschreiben, gilt hier das Distributivgesetz?
Bitte berichtigt mich wenn ich irgendwo Mist geschrieben hab.
Vielen Dank. euer Toyo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 17.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Toyo
was ist den [m] (H, +) [/m] für eine gruppe?
und vorallem was ist [m] (\mathbb{N}, +) [/m]für eine gruppe - dort gibt es doch gar kein neutrales element und keine inversen. meinst du vielleicht [m] (\mathbb{Z}, +)[/m]?
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 So 17.10.2004 | | Autor: | Toyo |
In der aufgabenstellung handelt es sich um die Halbgruppe ( [mm] \IN [/mm] , +) es handelt sich um die natürlichen Zahlen ohne die Null. Und in der Aufgabenstellung werden keine weiteren Aussagen über die Halbgruppe (H,+) gemacht. es wird lediglich noch die Abbildung g(n):= n * a, n [mm] \in \IN, [/mm] a [mm] \in [/mm] H.
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Vielleicht zwei Bemerkungen:
Zum einen sind hier die natürlichen Zahlen MIT 0 gemeint, denn ein neutrales Element muß es auch in einer Halbgruppe geben.
Zum anderen ist für $a [mm] \in [/mm] H$ und $n [mm] \in \IN$ [/mm] der Ausdruck $n [mm] \cdot [/mm] a$ wie folgt definiert:
$n [mm] \cdot [/mm] a := [mm] \underbrace{a+ \ldots + a}_{\mbox{n Summanden}} [/mm] = [mm] \sum_{i = 1}^n [/mm] a$
Damit ist die Abbildung definiert und $g(0) = e$.
Dass die Abbildung ein Homomorphismus ist, ist dann nicht mehr so schwierig zu beweisen... 
Viel Glück!
Lars
EDIT: Andreas wies mich eben darauf hin, dass es auch Definitionen von Halbgruppen gibt, die ohne das neutrale Element auskommen. Sollte das in eurer Vorlesung der Fall sein, ignoriere die erste Bemerkung und auch das mit dem $g(0) = e$ - der Rest funktioniert aber genauso.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Reicht es als Beweis zu sagen:
1.) g ist eine Abb. von [mm] \IN [/mm] nach H
2.) für bel x,y [mm] \in \IN [/mm] gilt: g(x+y)=(x+y)*a=x*a+y*a=g(x)+g(y)
Reicht dies als Beweis? Wenn nein, wie soll ichs modifizieren?
Dank für eure Hilfe
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Gruß!
Also, Punkt 1) ist klar. Punkt 2) solltest Du noch genauer machen... schließlich ist $n*a$ für $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $a [mm] \in [/mm] H$ zunächst nur ein Symbol - die genaue Definition habe ich Dir angegeben.
Und mit dieser mußt Du arbeiten! Ein Distributivgesetz oder so kann man nicht voraussetzen. Aber wenn Du die Formel $n*a = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] a$ benutzt, solltest Du recht bald ans Ziel kommen...
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Lars,fettes Danke erstmal, dass du dir soviel Zeit für mich nimmst.
also ich hab den zweiten teil meines Beweises jetzt wiefolgt modifiziert:
für bel. x,y [mm] \in \IN [/mm] gilt:
g(x+y)= [mm] \summe_{i=1}^{x+y} [/mm] a
= [mm] \summe_{i=1}^{x} [/mm] a + [mm] \summe_{i=1}^{y} [/mm] a = g(x) + g(y)
ist es so besser?
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Grüße!
Ohne für Deinen Tutor (oder Deine Tutorin) sprechen zu wollen kann ich sagen: ich würde es bei der Korrektur so akzeptieren.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Lars
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