Homomorphismus-quotientenmenge < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:58 Do 25.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe | H,I Gruppen, [mm] \varphi:H\to [/mm] I
Quotientenmenge [mm] \bar H:=H/Kern(\varphi) [/mm] mit Verknüpfung
[mm] *:\overline{H}\times\overline{H}\to\overline{H},(\bar a,\bar b)\mapsto \bar a*\bar b:=\overline{a*b} [/mm] ist Gruppe |
Hey :)
Ich versteh das mit der Quotientenmenge nicht wirklich. Das ist eine Quotientenmenge von [mm] \overline{H} [/mm] bezüglich [mm] Kern(\varphi), [/mm] aber was stellt man sich darunter vor?
Und ich hab aufgeschrieben, dass [mm] \overline{a*b} [/mm] eine Äquivalenzklasse bildet, wieso ist das eine Ä.klasse?
Lg & Danke schonmal ;)
s-jojo
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> H,I Gruppen, [mm]\varphi:H\to[/mm] I
>
> Quotientenmenge [mm]\bar H:=H/Kern(\varphi)[/mm] mit Verknüpfung
> [mm]*:\overline{H}\times\overline{H}\to\overline{H},(\bar a,\bar b)\mapsto \bar a*\bar b:=\overline{a*b}[/mm]
> ist Gruppe
> Hey :)
>
> Ich versteh das mit der Quotientenmenge nicht wirklich. Das
> ist eine Quotientenmenge von [mm]\overline{H}[/mm] bezüglich
> [mm]Kern(\varphi),[/mm] aber was stellt man sich darunter vor?
Hallo,
ob man sich überhaupt was "vorstellen" sollte, sei mal dahingestellt...
Sicher ist: die Brücke zum Glück sind die Definitionen.
Wenn G eine Gruppe ist, für welche N ist denn dann G / N definiert, und wie?
Was sind die Elemente von G / N ?
Wie ist [mm] H/Kern\varphi [/mm] definiert?
Das muß man erstmal wissen.
> Und ich hab aufgeschrieben, dass [mm]\overline{a*b}[/mm] eine
> Äquivalenzklasse bildet, wieso ist das eine Ä.klasse?
Zu einer Äquivalenzklasse gehört eine Äquivalenzrelation?
Mit welcher Äquivalenzrelation auf welcher Menge wird hier gearbeitet?
Was ist überhaupt eine Äquivalenzklasse?
Dies sind so die Fragen, mit denen Du Dich beschäftigen mußt, wenn Du Dich sinnvoll dem Thema nähern willst.
Gruß v. Angela
>
>
> Lg & Danke schonmal ;)
> s-jojo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 25.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
> Hallo,
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> ob man sich überhaupt was "vorstellen" sollte, sei mal
> dahingestellt...
>
> Sicher ist: die Brücke zum Glück sind die Definitionen.
>
> Wenn G eine Gruppe ist, für welche N ist denn dann G / N
> definiert, und wie?
Hm...? das kapier ich nicht so richtig.
N ist also eine Relation? Wir hatten die Definition (jetzt mit G=Gruppe und N ist Relation)
[mm] K_{g}:=\{K_{g}|g\in G\} [/mm] ist Quotientenmenge von G bezüglich N
Wenn ein Element zur Quotientenmenge gehört, dann muss es erst einmal in der Äquivalenzklasse von N sein,oder?
> Was sind die Elemente von G / N ?
Müssen da nicht die Elemente drin sein, die zu der Äquivalenzklasse dazugehören?
> Wie ist [mm]H/Kern\varphi[/mm] definiert?
Mit dem Hom.-satz
H,I Gruppen, [mm] \varphi:H\to [/mm] I [mm] Hom.\Rightarrow\varphi(H)\le [/mm] I mit [mm] \varphi(H)\cong G/Kern(\varphi)
[/mm]
> > Und ich hab aufgeschrieben, dass [mm]\overline{a*b}[/mm] eine
> > Äquivalenzklasse bildet, wieso ist das eine Ä.klasse?
>
> Zu einer Äquivalenzklasse gehört eine
> Äquivalenzrelation?
> Mit welcher Äquivalenzrelation auf welcher Menge wird
> hier gearbeitet?
Hm... ich weiß nicht, was ich dazu sagen soll :D weil der Prof. das beiläufig gesagt hat und ich hab das dann einfach hingeschrieben, hab jetzt aber schon vergessen, was damit gemeint war :(
> Was ist überhaupt eine Äquivalenzklasse?
R Äquiv.-klasse auf Menge M
[mm] \Rightarrow K_{m}:=\{n\in M|(n,m)\}\in [/mm] R
Liebe Grüße
s-jojo
P.S.: Ich komm mit diesem Thema einfach nicht klar :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Fr 26.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Es ist kein Wunder, dass du es nicht verstehst weil du dir die Definitionen nicht ordentlich angeschaut hast. Was du in deinem zweiten Post geschrieben hast ist kompletter Unsinn. Also mach dich besser mal schlau wie die Sachen definiert sind.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Fr 26.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
Also nochmal :D
Ich schreib erstmal hin, wo bei uns bisher im Skript die Quotientenmenge vorkam.
1.Def.
R ist ÄR auf Menge M
[mm] \{K_{m}|m\in M\} [/mm] ist Quotientenmenge von M bezüglich R: M/R
2. bei den Homomorphismen:
Quotientenmenge [mm] \bar H:=H/Kern(\varphi) [/mm] mit Verknüpfung [mm] \cdot{}:\overline{H}\times\overline{H}\to\overline{H},(\bar a,\bar b)\mapsto \bar a\cdot{}\bar b:=\overline{a\cdot{}b} [/mm] ist Gruppe
3.Homomorphiesatz
H,I [mm] Gruppen,Hom.\Rightarrow\varphi(H)\le [/mm] mit [mm] \varphi(H)\cong G/Kern(\varphi)
[/mm]
Das war's soweit zu den Quotientenmengen im Skript.
Dann zu den Fragen noch einmal:
> Wenn G eine Gruppe ist, für welche N ist denn dann G / N definiert, und wie?
Wenn ich die Frage richtig verstanden hab, denk ich, dass G/N für die disjunkten Äquivalenzklassen (also Teilmengen) von N definiert ist.
zu der Frage "und wie?" - Wie meinst du das?
> Was sind die Elemente von G / N ?
Das sind doch immer noch die Elemente von der Menge N, die dann aber in verschiedene Äquivalenzklassen aufgeteilt wurden, oder?
> Wie ist [mm] H/Kern\varphi [/mm] definiert?
Das versteh ich nicht, sind da dann nur die Elemente von H, die in die Äquivalenzklasse "Kern" gesteckt werden?
Aaaaargh... ich hoffe ich hab nicht schon wieder Unsinn geschrieben :(
Gruß,
s-jojo :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Fr 26.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Okay... helfen wir dir mal ein bischen auf die Sprünge.
> Ich schreib erstmal hin, wo bei uns bisher im Skript die
> Quotientenmenge vorkam.
>
> 1.Def.
> R ist ÄR auf Menge M
> [mm]\{K_{m}|m\in M\}[/mm] ist Quotientenmenge von M bezüglich R: M/R
Naja das ist n bissl komisch aufgeschrieben, also ich mach es mal mit meinen Worten. Wenn du eine Menge $M$ hast und darauf eine Äquivalenzrelation, dann kann ich zu jedem Element [mm] $m\in [/mm] M$ dessen Äquivalenzklasse [mm] $K_m$ [/mm] definieren durch [mm] $K_m:=\{n\in M\mid mRn\}$, [/mm] also die Menge der Elemente aus $M$, die in Relation zu $m$ stehen. Verschiedene Elemente aus $M$ können durchaus in derselben Äquivalenzklasse liegen, auf jeden Fall bildet aber die Menge der Äquivalenzklassen eine Zerlegung von $M$, d.h. sie sind paarweise disjunkt und deren Vereinigung ist ganz $M$ (nachprüfen!). Die Menge der Äquivalenzklassen heißt Quotientenmenge bzgl. der Relation R, schreibweise $M/R$.
> 2. bei den Homomorphismen:
> Quotientenmenge [mm]\bar H:=H/Kern(\varphi)[/mm] mit Verknüpfung
> [mm]\cdot{}:\overline{H}\times\overline{H}\to\overline{H},(\bar a,\bar b)\mapsto \bar a\cdot{}\bar b:=\overline{a\cdot{}b}[/mm]
> ist Gruppe
Okay hier stellt sich die Frage was jetzt [mm] $H/\ker(\varphi)$ [/mm] schonwieder für ne Schweinerei sein soll? Was ist hier die Relation nach der faktorisiert wird? Es ist so, wenn du eine Gruppe $G$ und darin irgendeine Untegruppe [mm] $U\subset [/mm] G$ hast, dann hat man die kanonische Äquivalenzrelation [mm] $xRy\gdw xy^{-1}\in [/mm] U$ (nachprüfen!). Und $G/U$ bedeutet dann (als Menge) $G$ faktorisiert nach dieser kanonischen Äquivalenzrelation.
Ok jetzt steht da oben ja noch weiter, dass wir $G/U$ zu einer Gruppe machen wollen. Wie soll man zwei Äquivalenzklassen miteinander "multiplizieren"? Wir wollen definieren [mm] $\bar a\cdot\bar b:=\overline{a\cdot b}$, [/mm] aber dies ist im Allgemeinen nicht wohldefiniert. Damit das klappt muss $U$ eine weitere besondere Eigenschaft haben, nämlich ein Normalteiler sein. Normalteiler sind genau die Kerne von Homomorphismen (Satz!). Ist U nun also auch ein Normalteiler, dann heißt $G/U$ mit dieser Verknüpfung, die die Menge $G/U$ wiederum zu einer Gruppe macht (nachrechnen!), die Faktorgruppe von $G$ nach $U$. Wenn man schreibt $G/U$ dann ist damit eigentlich immer die Faktorgruppe gemeint, nicht nur die Menge der Äquivalenzklassen.
> 3.Homomorphiesatz
> H,I [mm]Gruppen,Hom.\Rightarrow\varphi(H)\le[/mm] mit
> [mm]\varphi(H)\cong G/Kern(\varphi)[/mm]
Ja, das ist ein hübscher Satz. :)
> Das war's soweit zu den Quotientenmengen im Skript.
>
> Dann zu den Fragen noch einmal:
> > Wenn G eine Gruppe ist, für welche N ist denn dann G /
> N definiert, und wie?
>
> Wenn ich die Frage richtig verstanden hab, denk ich, dass
> G/N für die disjunkten Äquivalenzklassen (also
> Teilmengen) von N definiert ist.
Wie ich oben schon versucht habe zu erklären. Die Faktorgruppe ist nur definiert, wenn $N$ ein Normalteiler in $G$ ist.
> zu der Frage "und wie?" - Wie meinst du das?
Die Frage ist: 1) Was sind die Elemente von G/N (das habe ich weiter oben schon geschrieben, aber die Frage ist ob du das jetzt auch verstanden hast) und 2) Wie ist die Gruppenoperation auf $G/N$ definiert? Wie multipliziert man zwei Äquivalenzklassen?!
> > Wie ist [mm]H/Kern\varphi[/mm] definiert?
> Das versteh ich nicht, sind da dann nur die Elemente von H,
> die in die Äquivalenzklasse "Kern" gesteckt werden?
Wie gesagt, [mm] $\ker\varphi$ [/mm] ist für jeden Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler und [mm] $H/\ker\varphi$ [/mm] ist nichts weiter als die Faktorgruppe $H$ nach [mm] $\ker\varphi$.
[/mm]
Achja und mach dir nix draus wenn das alles verwirrend ist. Mit der Zeit wirst dus kapieren. Wichtig ist halt nur, dass du dich immer fragst: Wie ist diese Menge jetzt definiert? Wie ist die Gruppenoperation definiert? Von wo nach wo geht die Abbildung? Ist das wohldefiniert? usw....
Gruß, Robert
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