Homomorphismen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Do 10.12.2009 | | Autor: | RomyM |
| Aufgabe | Seien [mm] G_{1}= [/mm] (Z/_{(6)},+), [mm] G_{2}=(Z/_{(4)},+), G_{3}=(Z/_{(3)},+) [/mm] Gruppen und [mm] phi_{12}: [x]_{(6)} \to [x]_{(4)} \in G_{1} [/mm] und [mm] phi_{13}: [x]_{(6)} \to [x]_{(3)} \in G_{1}.
[/mm]
Handelt es sich hierbei um Homomorphismen? |
Hallo an alle,
könnte mir jemand bitte einen Tip zu dieser Aufgabe geben? Ich habe irgendwie keine wirkliche Idee was ich hier machen muss (bzw. kann mir kaum etwas unter dieser Aufgabe vorstellen...)
Aber ich weiß, dass Homomorphismen Abbildungen zwischen 2 Strukturen sind und dass gelten muss: phi(a*b)=phi(a) * phi(b)
lg, Romy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Romy!
> Seien [mm]G_{1}=[/mm] (Z/_{(6)},+), [mm]G_{2}=(Z/_{(4)},+), G_{3}=(Z/_{(3)},+)[/mm]
> Gruppen und [mm]phi_{12}: [x]_{(6)} \to [x]_{(4)} \in G_{1}[/mm] und
> [mm]phi_{13}: [x]_{(6)} \to [x]_{(3)} \in G_{1}.[/mm]
>
> Handelt es sich hierbei um Homomorphismen?
>
> könnte mir jemand bitte einen Tip zu dieser Aufgabe geben?
> Ich habe irgendwie keine wirkliche Idee was ich hier machen
> muss (bzw. kann mir kaum etwas unter dieser Aufgabe
> vorstellen...)
> Aber ich weiß, dass Homomorphismen Abbildungen zwischen 2
> Strukturen sind und dass gelten muss: phi(a*b)=phi(a) *
> phi(b)
Genau. Und damit musst du ueberpruefen:
a) definiert das ganze ueberhaupt eine Funktion? Sprich: ist es wohldefiniert?
b) wenn dies der Fall ist, gilt fuer alle $a, b [mm] \in \IZ/_6$, [/mm] dass [mm] $\phi_{1i}(a [/mm] + b) = [mm] \phi_{1i}(a) [/mm] + [mm] \phi_{1i}(b)$ [/mm] ist?
Teil b) kannst du sehr einfach allgemein loesen, ohne alle Moeglichkeiten fuer $a$ und $b$ durchzugehen. Aber guck dir erstmal Teil a) an.
Damit das wohldefiniert ist, muss z.B. fuer [mm] $[2]_6 [/mm] = [mm] [8]_6$ [/mm] gelten, dass sowohl $2$ wie auch $8$ auf das selbe Element in [mm] $\IZ/_4$ [/mm] bzw. [mm] $\IZ/_3$ [/mm] abgebildet werden. Ueberpruef das doch mal.
LG Felix
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