Homomorphism. proj. Systeme < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:03 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $I$ partiell geordnet und gerichtet und [mm] $(G_{i},g_{ij}), (H_{i},h_{ij})$ [/mm] projektive Systeme von abelschen Gruppen bezüglich I. [mm] $\psi: (G_{i},g_{ij}) \to (H_{i},h_{ij})$ [/mm] ein Homomorphismus projektiver Systeme, d.h eine Familie von Homomorphismen [mm] $\psi_i: G_i \to H_i$, [/mm] sodass für alle $i [mm] \leq [/mm] j$ gilt [mm] $h_{ij} \circ \psi_j [/mm] = [mm] \psi_i \circ g_{ij}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\psi$ [/mm] einen kanonischen Homomorphismus [mm] $\overline{\psi}: \underleftarrow{lim} \:G_i \to \underleftarrow{lim} \:H_i$ [/mm] induziert. |
Hallo,
ich setze zunächst $G:= [mm] \underleftarrow{lim} \:G_i$ [/mm] und [mm] $H:=\underleftarrow{lim} \:H_i$.
[/mm]
Ich konnte nachrechnen, dass [mm] $\overline{\psi}: [/mm] G [mm] \to [/mm] H$ wohldefinierter Homomorphismus ist.
Nun muss ich noch zeigen, dass [mm] $\overline\psi$ [/mm] stetig ist, wenn ich $H$ und $G$ als mit der Teilraumtopologie der Krulltopologie auf [mm] $\produkt_i G_i$ [/mm] bzw. [mm] $\produkt_i H_i$ [/mm] versehen betrachte.
Mir fällt es dabei schon schwer zu erkennen, wie die offenen Mengen in $H$ und $G$ aussehen.
Ich nehme mir $U [mm] \subseteq [/mm] H$ offen. Heißt das, dass ich U wie folgt schreiben kann: $U = [mm] \bigcup_{j \in J} \produkt_{i \in I} U_{ij}$ [/mm] mit [mm] $U_{ij} \subseteq H_i$ [/mm] offen und für jedes $j [mm] \in [/mm] J$ sind fast alle [mm] $U_{ij} [/mm] = [mm] H_i$? [/mm] Oder wie sehen die offenen Mengen im allgemeinen aus?
Da [mm] $H_i$ [/mm] ja jeweils mit der diskreten Topologie versehen ist, wären die [mm] $U_{ij}$ [/mm] ja sowieso offen.
Nun müsste ich zeigen, dass [mm] $\overline\psi^{-1}(U) \subseteq [/mm] G$ offen ist. Es ist [mm] $\overline\psi^{-1}(U) [/mm] = [mm] \overline\psi^{-1}(\bigcup_{j \in J} \produkt_{i \in I} U_{ij}) [/mm] = [mm] \bigcup_{j \in J}\overline\psi^{-1}(\produkt_{i \in I} U_{ij}) \overset{?}{=} \bigcup_{j \in J}\produkt_{i \in I}\psi_i^{-1}(U_{ij})$.
[/mm]
Da [mm] $U_{ij} [/mm] = [mm] H_i$ [/mm] für fast alle $i$ ist, ist [mm] $\psi_i^{-1}(U_{ij}) [/mm] = [mm] G_i$ [/mm] für fast alle ist und somit [mm] $\overline\psi^{-1}(U)$ [/mm] offen in $G$.
So, was stimmt davon, was nicht?
Vielen Dank für eure Hilfe,
LG Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 15.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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