Homomorphism. C^NxN->C < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ich will herausfinden, wieso es für N>1 nur einen Homomorphismus [mm] \mathbb{C}^{N\times N}\to \mathbb{C} [/mm] gibt, die Nullabbildung, wobei hier mit Homomorphismus ein [mm] \mathbb{C}- [/mm] Algebrenhomomorphismus gemeint ist. Ich bin leider ein wenig aus der Materie raus.
Nür N=1, kriegt man ja die identität und die komplexe Konjugation, also 2 Stück?
Für N>1 hab ich das beispielsweise mal für N=2 probiert mir das klarzumachen, indem ich mir die Standardbasis von [mm] \mathbb{C}^{2\times 2} [/mm] aufgeschrieben habe und dann angenommen habe, es gibt nichttrivialen Homomorphismus [mm] f:\mathbb{C}^{2\times 2}\to \mathbb{C}. [/mm]
Dann bestimmt, woraus die Basisvektoren abgebildet werden, zb für den ersten: [mm] f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 })=a [/mm] für eine komplexe Zahl a ungleich 0 und analog für die anderen . Und dann müssen ja die Algebren-Homomorphismuseigenschaften gelten:
[mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathbb{C}^{2\times 2} [/mm] gilt f(A+B)=f(A)+f(B)
[mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathbb{C}^{2\times 2}, \forall t\in \mathbb{C} [/mm] f(tA)=t(A)
[mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathbb{C}^{2\times 2} [/mm] gilt f(A*B)=f(A)f(B)
wobei * die Matrizenmultiplikation ist.
[Edit: das hier nicht beachten hier: Und eben dann auch, dass das neutrale Element aus [mm] \mathbb{C}^{2\times 2} [/mm] auf das neutrale Element in [mm] \mathbb{C} [/mm] gehen soll denke ich mal. ]
Ich hab da ein bischen gerechnet, aber irgendwo muss ich ja auf das Ergebis kommen, dass es keinen nichttrivialen Homomorphismus gibt und habe das Gefühl, dass mein Ansatz nicht zielführend ist. Außerdem will ich das eigentlich auch gerne allgemein für N>1 hinterher noch herausfinden, nicht nur für N=2.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Lg
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Die Abbildung, welche alles auf die 0 schickt ist mitnichten ein Algebrenhomomorphismus, da die 1 nicht auf die 1 geht.
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oh stimmt danke für die Anmerkung, das "eins geht auf eins " ist zu streichen, ich ändere das
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Dann gibt es für $N=1$ (mindestens) auch noch die Null.
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ah stimmt, danke... ich bin manchmal eine Schlafmütze. Vor allem interessiert mich nun N>1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 So 15.06.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Da [mm]\mathbb{C}[/mm] ein Körper ist, ist der einzige nicht-unitale Algebrenmorphismus sowieso die Nullabbildung. Denn es gilt [mm]f(A)=f(EA)=f(E)f(A)[/mm], wobei E die Einheitsmatrix ist.
Allgemein sieht man sofort, dass [mm]f([A, B])=0[/mm] für alle Matrizen A, B. Insbesondere ist [mm]f(A)=0[/mm] für alle spurlosen Matrizen A (jede spurlose Matrix ist ein Kommutator). Es existieren aber sicherlich invertierbare spurlose Matrizen. Z.b. [mm]D_{n}:=diag(n-1, -1,...,-1)[/mm]. Dann folgt aber [mm]f(A)=f(AD_{n}^{-1}D_{n})=f(AD_{n}^{-1})f(D_{n})=0[/mm] für alle [mm]A\in M_{n}(\mathbb{C})[/mm].
Viele Grüße,
berieux
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Vorausgesetzt, das Resultat stimmt, genügt es jedenfalls, wenn du zeigst, dass die Einheitsmatrix auf die Null geht. Wenn man das im Hinterkopf hat, ist es vielleicht etwas übersichtlicher.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Schachtel5 |
Hallo
ich glaube ich war gestern schon ein wenig überarbeitet, als ich die Frage gestellt habe, entschuldigung.
Danke erstmal für eure Antworten.
@Berieux: Danke.
Edit: habe konnte meine restlichen Fragen nun selbst klären. Vielen Dank euch!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Schachtel5 |
Habe es jetzt verstanden. Poste ggf noch einen Alternativbeweis demnächst.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen an, es gäbe ein multiplikatives lineares Funktional $ [mm] f:\mathbb{C}^{N\times N}\to \mathbb{C} [/mm] $ mit $f(E)=1.$ (E= Einheitsmatrix), und $N [mm] \ge [/mm] 2$
Sei $A [mm] \in \mathbb{C}^{N\times N}$ [/mm] und [mm] p_A [/mm] das charakteristische Polynom von $A$, etwa
[mm] p_A(z)=a_0+a_1z+...+a_nz^n.
[/mm]
Nach Cayley-Hamilton ist [mm] 0=p_A(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n. [/mm] Es folgt:
[mm] 0=f(P_A(A))=a_0+a_1f(A)+...+a_nf(A)^n.
[/mm]
Damit ist $f(A)$ ein Eigenwert von $A.$
Sind nun $A,B [mm] \in \mathbb{C}^{N\times N}$, [/mm] so ist
$f(AB)=f(A)f(B)$,
d.h.:
(*) es gibt einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von $AB$ und einen Eigenwert [mm] \mu [/mm] von $A$ und einen Eigenwert [mm] \nu [/mm] von $B$ mit [mm] $\lambda= \mu* \nu$
[/mm]
Für alle Matrizen $ A,B [mm] \in \mathbb{C}^{N\times N} [/mm] $ ist (*) mit Sicherheit nicht immer richtig !
Finde solche Matrizen, dann hast Du einen Widerspruch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Di 17.06.2014 | | Autor: | Schachtel5 |
Hallo
@ UniversellesObjekt: nochmal danke dir. für den Fall N=2: ich habe jetzt noch die Standardbasis wie hier http://de.wikipedia.org/wiki/Standardbasis mit [mm] E_{ij} [/mm] bezeichnet.
Zb gilt nun [mm] E_{ij}^2=0 [/mm] für [mm] i\not= [/mm] 0 und daher f( [mm] E_{ij})^2=0 [/mm] ,dh. f( [mm] E_{ij})=0. [/mm] Insbesondere ist also auch die invertierbare Matrix [mm] E_{12}+E_{21} [/mm] im Kern , dh der Kern ist der gesamte Ring und daher f=0.
Den rechnerischen Ansatz aus dem Startthread müsste auch machbar sein, aber rechnen...
@Beriueux sehr elegant mit den Kommutatoren, danke. ich kannte sie vorher noch garnicht, also hatte noch die Kommutatoren irgendwo in der Vorlesung. Nur das eine Resultat dass jede spurfreie Matrix A schreiben lässt also A=[M,N] für M,N Matrizen muss man wirklich kennen... aber vielleicht kann man das auch unter Kommutator auf Standardbasis verhindern, dass man das braucht.
@Fred: Vielen Dank! Habs verstanden. Genau nach solchen Beweisen habe ich gesucht /wäre mir am liebsten gewesen so einen (selbst) zu finden. Werde den Beweis dann um so passende Matrizen ergänzen,sd. man den WIderspruch erhält.
Eine weitere Möglichkeit sollte sein zu zeigen, dass für N>1 [mm] \mathbb{C}^{N\times N} [/mm] ein einfacher Ring ist, also dass keine Ideale außer 0 und der gesamte Ring existieren. Dh es gibt kein Ideal mit Kodimension 1.
Lg
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