Homogene DGL 1.Ordnung lin.Lös < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wir behandeln gerade homogene DGL 1.Ordnung (Lösung durch Substitution und nachfolgender Variablentrennung). Mußte folgende Aufgabe lösen:
y'= tan(y/x)+(y/x)
Ich hab mein Ergebnis hier prüfen lassen:
http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=ode
Mein Ergebnis war richtig, aber zusätzlich wurde eine "lineare Lösung" angezeigt, und zwar y=0. Die scheint zwar richtig, wenn man sie in die gegebene DGL einsetzt, aber wie kommen die darauf?
Hab übrigens andere Aufgaben eingetippt, und da kam dann oft (aber nicht immer) eine lineare Zusatz-Lösung raus, wie z.B. y=ex usw.
Dann hab ich die Uni-Bibliothek durchwühlt, aber nirgendwo findet man Hinweise, wie (und wann) diese komischen Zusatz-Lösungen entstehen. Dort findet man nur Beispiele ohne sin,tan,log, usw.
Und überhaupt: Ich dachte, eine DGL 1.Ordnung wäre eindeutig lösbar? Wie kann sie da zwei Lösungen haben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:56 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wir behandeln gerade homogene DGL 1.Ordnung (Lösung durch
> Substitution und nachfolgender Variablentrennung). Mußte
> folgende Aufgabe lösen:
>
> y'= tan(y/x)+(y/x)
>
> Ich hab mein Ergebnis hier prüfen lassen:
>
> http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=ode
>
> Mein Ergebnis war richtig, aber zusätzlich wurde eine
> "lineare Lösung" angezeigt, und zwar y=0. Die scheint zwar
> richtig, wenn man sie in die gegebene DGL einsetzt, aber
> wie kommen die darauf?
>
> Hab übrigens andere Aufgaben eingetippt, und da kam dann
> oft (aber nicht immer) eine lineare Zusatz-Lösung raus, wie
> z.B. y=ex usw.
>
> Dann hab ich die Uni-Bibliothek durchwühlt, aber nirgendwo
> findet man Hinweise, wie (und wann) diese komischen
> Zusatz-Lösungen entstehen. Dort findet man nur Beispiele
> ohne sin,tan,log, usw.
>
> Und überhaupt: Ich dachte, eine DGL 1.Ordnung wäre
> eindeutig lösbar?
Da liegst Du falsch ! Die DGL $y' = 0$ hat unendlich viele Lösungen. Ebenso $y' = y$ etc.................
FRED
> Wie kann sie da zwei Lösungen haben?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Di 12.05.2009 | | Autor: | Greenspan |
> Da liegst Du falsch ! Die DGL [mm]y' = 0[/mm] hat unendlich
> viele Lösungen. Ebenso [mm]y' = y[/mm] etc.................
>
> FRED
Hallo Fred
Ist schon klar, aber alle Lösungen unterscheiden sich ja nur durch die Integrationskonstante c. Bei obiger DGL (und vielen anderen homogenen 1.Ordnung) treten aber zwei total verschiedene Lösungen auf:
Einmal die "normale" und die "lineare".
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Hallo Greenspan,
du wirst wahrscheinlich erst substituiert und die Gleichung dann mithilfe von der Methode der getrennten Variablen weitergelöst haben.
Da liegt allerdings der Knackpunkt: Wenn du dir die Herleitung dieser Methode anschaust, teilst du dort durch h(y)..... das geht allerdings nur, wenn h(y) nicht die Nullfunktion ist.
Wenn dieser Fall auftreten kann, benötigst du dort eine Fallunterscheidung.
Eine liefert dir die triviale Lösung, da ja gilt [mm]y' = g(x)*h(y) = 0[/mm].
Der andere Fall liefert dir deine "normale" Lösung.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Di 12.05.2009 | | Autor: | Greenspan |
Vielen Dank, hab es verstanden!
Die lineare Lösung ist nur ein Speziafall, wenn ich c=0 wähle.
Hab ich übersehen.
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