Holomorph -> konstant < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Sa 12.11.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Sei [mm] U\subset\IC [/mm] offen und zusammenhängend und [mm] f:U\to\IC [/mm] eine auf U holomorphe Funktion. Ist abs(f(z))=1 für alle [mm] z\in [/mm] U, dann ist f konstant. |
Hallo,
betrachte ich die Funktion f(z)=cos(z)+i*sin(z), dann ist f holomorph und der Betrag von f gleich 1 für alle z, aber f ist nicht konstant. Wo ist der Fehler?
Vielen Dank.
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]U\subset\IC[/mm] offen und zusammenhängend und [mm]f:U\to\IC[/mm]
> eine auf U holomorphe Funktion. Ist abs(f(z))=1 für alle
> [mm]z\in[/mm] U, dann ist f konstant.
> Hallo,
>
> betrachte ich die Funktion f(z)=cos(z)+i*sin(z), dann ist f
> holomorph und der Betrag von f gleich 1 für alle z, aber f
> ist nicht konstant. Wo ist der Fehler?
$|cos(z)+i*sin(z)|=1$
gilt nur für z=it mit t [mm] \in \IR
[/mm]
Edit: gilt natürlich nur z=t mit t [mm] \in \IR
[/mm]
Es ist [mm] cos(z)+i*sin(z)=e^{iz}
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank.
>
> Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Sa 12.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> > Sei [mm]U\subset\IC[/mm] offen und zusammenhängend und [mm]f:U\to\IC[/mm]
> > eine auf U holomorphe Funktion. Ist abs(f(z))=1 für alle
> > [mm]z\in[/mm] U, dann ist f konstant.
> > Hallo,
> >
> > betrachte ich die Funktion f(z)=cos(z)+i*sin(z), dann ist f
> > holomorph und der Betrag von f gleich 1 für alle z, aber f
> > ist nicht konstant. Wo ist der Fehler?
>
>
> [mm]|cos(z)+i*sin(z)|=1[/mm]
>
>
> gilt nur für z=it mit t [mm]\in \IR[/mm]
kleine Verwechslung: |cos(z)+i*sin(z)|=1 gilt für reelle z.
Da die komplexe sin/cos-Funktion über die e-Funktion definiert ist, sind sin und cos im Komplexen unbeschränkt.
>
> Es ist [mm]cos(z)+i*sin(z)=e^{iz}[/mm]
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank.
> >
> > Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]U\subset\IC[/mm] offen und zusammenhängend und [mm]f:U\to\IC[/mm]
> > > eine auf U holomorphe Funktion. Ist abs(f(z))=1 für alle
> > > [mm]z\in[/mm] U, dann ist f konstant.
> > > Hallo,
> > >
> > > betrachte ich die Funktion f(z)=cos(z)+i*sin(z), dann ist f
> > > holomorph und der Betrag von f gleich 1 für alle z, aber f
> > > ist nicht konstant. Wo ist der Fehler?
> >
> >
> > [mm]|cos(z)+i*sin(z)|=1[/mm]
> >
> >
> > gilt nur für z=it mit t [mm]\in \IR[/mm]
>
> kleine Verwechslung: |cos(z)+i*sin(z)|=1 gilt für reelle
> z.
Du hast recht. Ich war noch nicht wach.
FRED
> Da die komplexe sin/cos-Funktion über die e-Funktion
> definiert ist, sind sin und cos im Komplexen
> unbeschränkt.
>
> >
> > Es ist [mm]cos(z)+i*sin(z)=e^{iz}[/mm]
> >
> > FRED
> > >
> > > Vielen Dank.
> > >
> > > Katrin
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Sa 12.11.2011 | | Autor: | katrin10 |
Danke!
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