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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion:
z=f(x,y) = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}x^2 + \bruch{1}{8}y^2} f:D\to\IR
[/mm]
a) Skizieren Sie die Höhenlinie zu z=1 (d.h. ihre Projektion in xy-Ebene)
b) Der Punkt [mm] P_0 [/mm] =(1,2) liegt auf dieser projizierten Höhenlinie h. Geben Sie einen Vektor [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] (v_1,v_2)^T [/mm] an, der Punkt [mm] P_0 [/mm] senkrecht auf h steht.
c) Berechnen Sie die Tangentialebene im Punkte Q=(1,2,f(1,2)). |
So also bei a) habe ich z=1 eingesetzt und dann nach y umgestellt dann bekomme ich diese Gleichungen raus:
[mm] y_1 [/mm] = [mm] \pm \wurzel[2]{4x^2 - 8}
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] \pm \wurzel[2]{4x^2 + 8}
[/mm]
Dann hab ich mir ne kleine Wertetabelle gemacht und habs gezeichnet. Die frage ist ob das richtig ist was ich da gebastelt habe.
Bei b) dachte ich mir das das vielleicht irgendwie mit dem grad geht weiß aber nicht wie ich das anstellen soll.
und bei c habe ich folgendes raus, was aber bestimmt falsch is.
[mm] -x-\bruch{1}{32}y+z=-\bruch{1}{16}
[/mm]
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Hallo Bengel777,
> Gegeben sei die Funktion:
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> z=f(x,y) = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{2}x^2 + \bruch{1}{8}y^2} f:D\to\IR[/mm]
>
> a) Skizieren Sie die Höhenlinie zu z=1 (d.h. ihre
> Projektion in xy-Ebene)
>
> b) Der Punkt [mm]P_0[/mm] =(1,2) liegt auf dieser projizierten
> Höhenlinie h. Geben Sie einen Vektor [mm]\vec{v}[/mm] = [mm](v_1,v_2)^T[/mm]
> an, der Punkt [mm]P_0[/mm] senkrecht auf h steht.
>
> c) Berechnen Sie die Tangentialebene im Punkte
> Q=(1,2,f(1,2)).
> So also bei a) habe ich z=1 eingesetzt und dann nach y
> umgestellt dann bekomme ich diese Gleichungen raus:
>
> [mm]y_1[/mm] = [mm]\pm \wurzel[2]{4x^2 - 8}[/mm]
>
> [mm]y_2[/mm] = [mm]\pm \wurzel[2]{4x^2 + 8}[/mm]
>
> Dann hab ich mir ne kleine Wertetabelle gemacht und habs
> gezeichnet. Die frage ist ob das richtig ist was ich da
> gebastelt habe.
Die Höhenlinien mußt Du nochmal nachrechen.
>
> Bei b) dachte ich mir das das vielleicht irgendwie mit dem
> grad geht weiß aber nicht wie ich das anstellen soll.
Von einer Funktion [mm]y=y\left(x\right)[/mm] kann die Steigung
in einem Punkt berechnet werden.
Weiterhin gilt für die Orthogonalität
[mm]m_{1}*m_{2}=-1[/mm]
>
> und bei c habe ich folgendes raus, was aber bestimmt falsch
> is.
>
> [mm]-x-\bruch{1}{32}y+z=-\bruch{1}{16}[/mm]
>
Das stimmt leider nicht ganz:
[mm]-x-\red{\bruch{1}{32}}y+z=-\red{\bruch{1}{16}}[/mm]
Gruss
MathePower
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Wieso was genau hab ich denn falsch gemacht? habe ich nen rechenfehler wie nen Zahlendreher oder is es komplett einfach nur falsch gedacht? Weil wir haben das immer so gerechnet und es stimmte eigentlich auch immer
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Hallo Bengel777,
> zu a)
> Wieso was genau hab ich denn falsch gemacht? habe ich nen
> rechenfehler wie nen Zahlendreher oder is es komplett
> einfach nur falsch gedacht? Weil wir haben das immer so
> gerechnet und es stimmte eigentlich auch immer
Ein Zahlendreher nicht gerade, dafür aber ein Vorzeichenfehler.
Aus
[mm]1=\bruch{1}{\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{1}{8}*y^{2}}[/mm]
folgt
[mm]y^{2}=8-4*x^{2}[/mm]
Hier hast Du als Höhenlinie
[mm]y_{1}=\pm\wurzel{4*x^{2}-8}[/mm]
angegeben.
Korrekt muß es aber heißen:
[mm]y_{1}=\pm\wurzel{\red{-}4*x^{2}-\red{\left(-1\right)}*8}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Bengel777 |
Ah danke, verdammt das sollte mir morgen nicht passieren
Obwohl ich das mit der Steigung immernoch net raffe
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Kann mir das jemand vielleicht mal grafisch zeigen ich hab jetzt was gezeichnet was aber irgendwie eigenartig aussieht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Di 06.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zu a)
> Kann mir das jemand vielleicht mal grafisch zeigen ich hab
> jetzt was gezeichnet was aber irgendwie eigenartig
> aussieht.
Graphisch kann ich es grad nicht, aber:
$f(x, y) = 1 [mm] \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + (y/2)^2} [/mm] = [mm] \sqrt{2}$
[/mm]
Es ist also eine Ellipse, deren wahrgerechter Durchmesser $2 [mm] \sqrt{2}$ [/mm] ist (also von $x = [mm] -\sqrt{2}$ [/mm] bis $x = [mm] \sqrt{2}$ [/mm] geht) und deren senkrechter Durchmesser $4 [mm] \sqrt{2}$ [/mm] ist (also von $y = -2 [mm] \sqrt{2}$ [/mm] bis $y = 2 [mm] \sqrt{2}$ [/mm] geht).
Oder anders: es ist ein Kreis mit Radius [mm] $\sqrt{2}$, [/mm] der in $y$-Richtung mit dem Faktor 2 gestreckt wurde.
LG Felix
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> zu a)
> Kann mir das jemand vielleicht mal grafisch zeigen ich hab
> jetzt was gezeichnet was aber irgendwie eigenartig
> aussieht.
Die Gleichung z=1 führt auf [mm] \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{8}=1
[/mm]
Dies ist eine Ellipsengleichung: [mm] \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1
[/mm]
Mittelpunkt M(0/0)
Kleine Halbachse [mm] b=\sqrt{2} [/mm] auf der x-Achse
Große Halbachse [mm] a=\sqrt{8}=2*\sqrt{2} [/mm] auf der y-Achse
Die Ellipsengleichung kann man auch in der Form
$\ H(x,y)\ =\ [mm] 4x^2+y^2-8\ [/mm] =\ 0$
schreiben. Um einen Normalenvektor dazu zu erhalten,
nehmen wir den Gradienten von H:
[mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{grad}\,H\ [/mm] =\ [mm] \pmat{8x\\2y}$
[/mm]
Im vorgegebenen Punkt [mm] P_0(1/2) [/mm] (der die Ellipsen-
gleichung auch tatsächlich erfüllt !) ist also
[mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{grad}\,H\ [/mm] =\ [mm] \pmat{8*1\\2*2}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{8\\4}$
[/mm]
Als reinen Richtungsvektor der Ellipsennormale darf
man diesen Vektor natürlich noch kürzen.
Für die Aufgabe c) kannst du analog den 3D-Gradienten
der Funktion F(x,y,z) benützen, um einen Normalen-
vektor [mm] \vec{n} [/mm] der Fläche z=f(x,y) im Punkt Q zu erhalten.
Dieser Vektor [mm] \vec{n} [/mm] ist dann auch ein Normalenvektor
für die gesuchte Tangentialebene.
LG Al-Chw.
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