Höhenlinie bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 So 23.08.2009 | | Autor: | marcello |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f aus [mm] \IR^2 [/mm] in [mm] \IR [/mm] mit f(x,y) = x * ln(x * y)+x².
Für die Höhenlinie der Funktion f, die durch den Punkt a = (1,1) verläuft, gebe man eine Gleichung für die Tangente im Punkt a an. Wie groß ist der Anstieg [mm] \bruch{\deltaf}{\deltav}(a), [/mm] falls v ein Richtungsvektor der Tangente ist? |
Hallo Leute,
wenn ich für die Höhenlinie f(x,y) = c die Tangente im Punkt a angeben soll, brauche ich ja erstmal die allg. Gleichung für die Höhenlinie. Danach würde ich dann mit dem Taylorpolynom die Tangente näherungsweise im Punkt a bestimmen.
Für die Richtungsableitung in eine beliebige Richtung gilt dann: [mm] \bruch{\delta f}{\delta v}(a) [/mm] = [mm] \bruch{grad f(a) \circ v}{\parallel v \parallel}.
[/mm]
Soweit meine Vorgehensweise. Ist das der prinzipiell richtige Lösungsweg?
Wenn das so wäre, dann habe ich verdammt große Schwierigkeiten bei der Bestimmung der Höhenlinie. Ich weiß einfach überhaupt nicht wie das funktionieren soll. Bin für jeden Lösungsansatz oder Denkansatz dankbar. Gibt es für die Höhenlinie ein halbwegs allgemeines Lösungsverfahren oder ist das stark von der gegebenen Funktionsgleichung abhängig?
Danke für eure Hilfe!
Grüße, marcello
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Na du hast doch schon den richtigen Ansatz gewählt mit $f(x,y) = c$
Da du weißt, dass die Höhenlinie durch $a$ verläuft, solltest du genau für $f(a)$ die Höhe ausrechnen (hier also dann dein $c$), und dann $f(x,y) = c$ nach $x$ oder $y$ umstellen. (Hier würde ich nach $y$ empfehlen, da das dem geläufigen Funktionenbegriff entspricht und die Umstellung nach $x$ problematisch ist.)
MfG Sunny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 So 23.08.2009 | | Autor: | marcello |
Ich habe für f(a) = c für c = 2 erhalten. Dann habe ich für f(x,y) = 2 nach y umgestellt und erhalte:
x*[(ln x + ln y) + x] = 2
[...]
ln y = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] - x - ln x
y = [mm] e^{\bruch{2}{x} - x - ln x}
[/mm]
Wie soll ich die Funktion jetzt interpretieren? Im Prinzip ist es ja die (positive und negative) Abbildung der e-Funktion nur auf der x verschoben, oder?
Oder fehlt mir noch ein Schritt? Muss ich dasselbe auch für x tun?
Danke und gruß,
marcello
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Hallo marcello,
> Ich habe für f(a) = c für c = 2 erhalten. Dann habe ich
> für f(x,y) = 2 nach y umgestellt und erhalte:
> x*[(ln x + ln y) + x] = 2
[mm]f\left(1,1\right)[/mm] ist nicht 2.
> [...]
> ln y = [mm]\bruch{2}{x}[/mm] - x - ln x
> y = [mm]e^{\bruch{2}{x} - x - ln x}[/mm]
>
> Wie soll ich die Funktion jetzt interpretieren? Im Prinzip
> ist es ja die (positive und negative) Abbildung der
> e-Funktion nur auf der x verschoben, oder?
>
> Oder fehlt mir noch ein Schritt? Muss ich dasselbe auch
> für x tun?
Nein.
>
> Danke und gruß,
> marcello
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 So 23.08.2009 | | Autor: | marcello |
> f(1,1) ist nicht 2.
Oh, verdammt. f(a) = 1, d.h. ich habe für y = [mm] e^{\bruch{1}{x} - x - ln x} [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{2}{x}}}{e^{x}*x} [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{x^2}}}{x}.
[/mm]
Wäre das dann meine korrekte Höhenlinienfunktion für c = 2, also im Punkt f(a)?
gruß,
marcello
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