Höhe einer Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Sa 24.09.2005 | | Autor: | MrS |
Hi,
ich habe eine eine Pyramide mit 4 Punkten
A(3|0|0) B(4|3|0) C(0|5|1) D(2|2|4)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie bekomme ich die Höhe h raus?
Gruß MrS
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo MrS,
> Hi,
>
> ich habe eine eine Pyramide mit 4 Punkten
> A(3|0|0) B(4|3|0) C(0|5|1) D(2|2|4)
>
> Wie bekomme ich die Höhe h raus?
bilde die durch A,B,C gehende Ebene:
[mm]E:\;\overrightarrow {x\;} = \;A\; + \;u\;\left( {B\; - \;A} \right)\; + \;v\;\left( {C\; - \;A} \right)[/mm]
Durch die Ebene ist eine Normalenvektor festgelegt.
Den Normalenvektor erhältst Du z.B. wenn die Ebene in Koordinatenform dargestellt wird.
[mm]a\;x_{1}\;+\;b\;x_{2}\;+\;c\;x_{3}\;=\;d[/mm]
Dann ist [mm]
\overrightarrow n \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
c \\
\end{array} } \right)[/mm] der Normalenvektor der Ebene E.
Die Gerade [mm]g:\;\overrightarrow x \; = \;D\; + \;t\;\overrightarrow n [/mm] schneidet die Ebene E in S.
Berechne dann den Abstand DS.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 So 25.09.2005 | | Autor: | MrS |
> Hallo MrS,
>
> > Hi,
> >
> > ich habe eine eine Pyramide mit 4 Punkten
> > A(3|0|0) B(4|3|0) C(0|5|1) D(2|2|4)
> >
> > Wie bekomme ich die Höhe h raus?
>
> bilde die durch A,B,C gehende Ebene:
> [mm]E:\;\overrightarrow {x\;} = \;A\; + \;u\;\left( {B\; - \;A} \right)\; + \;v\;\left( {C\; - \;A} \right)[/mm]
Ok ... das habe ich gemacht und zwar folgendes:
E = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + v [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
> Durch die Ebene ist eine Normalenvektor festgelegt.
>
> Den Normalenvektor erhältst Du z.B. wenn die Ebene in
> Koordinatenform dargestellt wird.
>
folgendes hab ich erhalten:
[mm]1\;x_{1}\;+\;1\;x_{2}\;+\;3\;x_{3}\;=\;1[/mm]
>
folgendes habe ich erhalten
Dann ist [mm]
\overrightarrow n \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
1 \\
3 \\
\end{array} } \right)[/mm]
> der Normalenvektor der Ebene E.
>
> Die Gerade [mm]g:\;\overrightarrow x \; = \;D\; + \;t\;\overrightarrow n[/mm]
> schneidet die Ebene E in S.
>
> Berechne dann den Abstand DS.
Doch der letzte schritt war mir unklar :( ... könntet ihr mir evtl. weiterhelfen?
>
> Gruß
> MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 25.09.2005 | | Autor: | MrS |
Hi,
danke für eure Hilfe!
Aber ich verstehe momentan nicht wie man auf die Koordinatenform kommt???
Mit freundlichen Grüßen
MrS
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 25.09.2005 | | Autor: | Disap |
Hi.
> Hi,
>
> danke für eure Hilfe!
>
> Aber ich verstehe momentan nicht wie man auf die
> Koordinatenform kommt???
>
Du hast dich beim Berechnen des Normalenvektors vertan.
[mm] \vec{n}= \vektor{1 \\ 3\\ 0} \times\vektor{-3 \\ 5\\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{n}=\vektor{3*1-0*5 \\ 0*(-3)-1*1\\ 1*5-3*(-3)}
[/mm]
[mm] =\vektor{3-0 \\ 0-1\\ 5-(-9)}
[/mm]
[mm] =\vektor{3 \\ -1\\ 14}
[/mm]
Das ist der selbe Vektor, den Loddar berechnet hat. Nur ist Loddars n-Vektor mit *(-1) genommen worden. Das macht aber nichts. Das ganze nennt man dann: Gegenvektor.
Nun klar, MrS?
Beim nächsten mal bitte zeigen, wie du den Normalenvektor berechnet hast.
> Mit freundlichen Grüßen
> MrS
Gruesse Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 So 25.09.2005 | | Autor: | MrS |
hi,
ich habe nun die gerade berechnet ... doch ich weiß nicht was für einen punkt ich einsetzen muss !
G= (2|2|4) + t * (3|-1|14)
Sorry, dass ich euch so viele fragen stelle, aber verstehs leider echt nicht :-(
Gruß mrs
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 25.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Hallo MrS,
Du hast jetzt also die Gerade berechnet, die sowohl durch den Punkt D, als auch durch den Schnittpunkt S mit der Ebene ABC geht.
Schnittpunkte berechnet man i.d.R. durch das Gleichsetzungsverfahren. Da der Punkt S sowohl zur Geraden, als auch zur Ebene gehört, ist dies naheliegend.
Im nachfolgenden Schritt, setzt Du alsp einfach die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich und erhälst somit ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen (Unbekannten), die es nun gilt zu berechnen - im Prinzip würde auch das t schon reichen, aber zur Probe ist es sicherlich sinnvoll auch u und v zu berechnen.
Der Berechnung der Koordinaten des Punktes S, sollte somit nichts mehr im Wege stehen.
Danach folgt die Abstandsberechnung von S zu D...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mo 26.09.2005 | | Autor: | MrS |
Hi,
also vielen dank! So mein Lösungsweg ...
1. Ich habe die Ebene mit der Gerade gleichgesetzt :
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 14 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + v [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
2. danach habe ich 3 Formeln erhalten ...
u - 3v - 3t = 1
3u + 5v +1t = 2
0 + 1v - 14t = 4
3. das ganze mit einem LGS gelöst!
==>
u = [mm] \bruch{-29}{206}
[/mm]
v = [mm] \bruch{-55}{103}
[/mm]
t = [mm] \bruch{-51}{206}
[/mm]
4. t in die Gerade eingesetzt!
G = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 14 \end{pmatrix} [/mm]
t = [mm] \bruch{-51}{206}
[/mm]
G = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \bruch{-51}{206} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 14 \end{pmatrix} [/mm]
Dadurch habe ich S erhalten =>> S [mm] \begin{pmatrix} 1,26\\ 2,248\\ 0,534 \end{pmatrix}
[/mm]
5. Die Länge der Geraden [mm] \overrightarrow{SD} [/mm]
[mm] \wurzel{(s_1 - d_1)^2+(s_2-d_2)^2+(s3_-d_3)^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{(1,26 - 2)^2+(2,248-2)^2+(0,534-4)^2}
[/mm]
Die Höhe beträgt H = 3,55 m
Ich hoffe ihr könnt mein Ergebnis bestätigen :)
Mit freundlichen Grüßen
MrS
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Di 27.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Hallo MrS,
das sieht doch sehr gut aus. 
Das Ergebnis kann ich auch bestätigen, von daher sollte es auch so passen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:45 So 25.09.2005 | | Autor: | Strenni |
Hallo MrS,
wär nett, wenn Du Dein Ergebnis hier mit hineinschreiben würdest. Ich habe die Aufgabe jetzt auch einmal komplett durchgerechnet - danke an dieser Stelle an MathePower für den Hinweis - und würde das Endergebnis gern mit Dir vergleichen.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier musst Du Dich irgendwo verrechnet haben.
