Hoch- und Tiefpunkte < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Consider the function f defined by the formula [mm] f(x)=\bruch{3x}{-x^2+4x-1}
[/mm]
Compute f'(x) and determine, where the function increases by using a sign diagram. (The function is not defined for [mm] x=2\pm\wurzel{3}) [/mm] |
Ich habe erstmal die erste Ableitung genommen und folgendes rausbekommen: [mm] f'(x)=\bruch{3(-x^2+4x-1)-(3x)(-2x+4)}{(-x^2+4x-1)^2}=\bruch{2x^2-3}{(-x^2+4x-1)^2}
[/mm]
Die Ergebnisse sagen mir [mm] \bruch{3x^2-3}{(-x^2+4x-1)^2}
[/mm]
Erstes Fragezeichen.
Da ich die Funktion auf Steigung untersuchen soll, muss ich die Hoch- und Tiefpunkte herausfinden. Dazu die 1. Ableitung 0 setzen. Wie geht das nochmal? Hat man da den den Nenner ignoriert und dann den Zähler 0 gesetzt?
Ich weiß nur aus den Ergebnissen, dass die X-Werte der Hoch- bzw Tiefpunkte lauten, wie folgt:
-1,1 Aber Wie kommt man nochmal darauf?
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Hallo,
[mm] -3x^2+3*2x^2=3x^2
[/mm]
Zähler nullsetzen stimmt, kannst den Bruch ja als Produkt auffassen und der Nenner kann nur uneigentlich null werden.
Auf die Extremstellen kommst du damit von selbst.
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Hi, ich kann mir nicht erklären, wie du auf diese Formel kommst. Außerdem würde mich interessieren, ob und wenn, wo ich falsch abgeleitet habe. Mfg tiemo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zunächst einmal hast Du die Ableitung der Funktion
[mm] $f:\IR\backslash\{2\pm\sqrt{3}\}\rightarrow\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\frac{3x}{-x^2+4x-1}$
[/mm]
richtig berechnet, d.h. die Ableitung ist gegeben durch
[mm] $f':\IR\backslash\{2\pm\sqrt{3}\}\rightarrow\IR$ [/mm] mit [mm] $f'(x)=\frac{3(x^2-1)}{(x^2-4x+1)^2}$
[/mm]
Damit ist der erste Teil der Aufgabe gelöst. Im zweiten Teil sollst Du diejenigen Intervalle bestimmen, auf denen die Funktion $f$ anwächst. Allgemein: Eine stetig differenzierbare Funktion [mm] $g:\IR\rightarrow\IR$ [/mm] ist genau dann auf einem Intervall [mm] $I\subset\IR$ [/mm] monoton wachsend (bzw. monoton fallend), wenn die Ableitung $g'$ nirgendwo negativ (bzw. nirgendwo positiv) ist, d.h. [mm] $g'(x)\geqslant [/mm] 0$ [mm] $\forall\,x\in [/mm] I$ (bzw. [mm] $g'(x)\leqslant [/mm] 0$ [mm] $\forall\,x\in [/mm] I$). In Deiner Aufgabe musst Du nun diejenigen [mm] $x\in\IR$ [/mm] finden, die die Bedingung [mm] $f'(x)\geqslant [/mm] 0$ erfüllen, d.h. du forderst
[mm] $f'(x)=\frac{3(x^2-1)}{(x^2-4x+1)^2}\overset{!}{\geqslant}0$
[/mm]
und musst diese Gleichung nun nach $x$ auflösen. Dann erhälst Du eine Bedingung, die diejenigen $x$ erfüllen müssen, für die die Funktion monoton wachsend ist.
Ich werde Dir die Aufgabe zwar jetzt nicht vorrechnen, dennoch gebe ich Dir einstweilen die korrekten Lösungen an: Die Funktion $f$ ist genau auf dem Intervall
[mm] $I:=]-\infty,-1]\cup[1,2+\sqrt{3}[\cup]2+\sqrt{3},+\infty[$
[/mm]
monoton wachsend, d.h. $f$ ist monoton wachsend für jedes [mm] $x\in [/mm] I$.
Viel Spass beim Rechnen!
Lieben Gruß
Denny
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