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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Do 01.11.2007 | | Autor: | k-s |
| Aufgabe | Seien A, B,C Mengen und f : A → B sowie g : B → C Abbildungen. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv.
(b) Ist g ◦ f injektiv, so ist auch f injektiv
(c) Ist g ◦ f injektiv, so ist auch g injektiv.
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Die ersten zwei Aussagen habe ich bewiesen und die dritte, wie ich vermute :) ist falsch. Aber irgendwie schaffe ich es nicht sie zu widerlegen.
Vll einen Tipp? =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey k-s,
also dann zur Nummer 3. Deine Vermutung ist richtig, die Aussage ist im Allgemeinen falsch.
Wenn man eine Aussage widerlegen will, dann reicht es ein Gegenbeispiel zu finden. Also bauen wir uns noch ein Gegenbeispiel zusammen.
Die Mengen A,B,C
Sei A = C = {1} und B ={1,2}.
Die Abb. f geht ja von A nach B. Hier haben wir keine grosse Auswahl. Wir schicken die 1 der Menge A auf die 1 in der Menge B. f(1)=1.
Und jetzt die Abbildung g, welche von B nach C geht. Wähle g so: g(1)=g(2)=1.
Meine Behauptung ist, dass dies ein Gegenbeispiel zur Aussage 3 ist. D.h. du musst noch begründen, dass die Kompostion von f und g injektiv , ABER g nicht injektiv ist. Damit wäre die Aussage widerlegt.
Schönen Abend
GorkyPark
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