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| Aufgabe | In einer Stadt gibt es 40000 Haushalte, von denen schätzungsweise jeder fünfte für den Kauf eines neu auf den Markt gebrachten Haushaltsartikels in Frage kommt. Es ist damit zu rechnen, dass der Absatz des Artikels im Laufe der Zeit schwieriger wird, da der Kreis der Käufer und deren Kauflust abnimmt. In den ersten drei Monaten werden 1700 Stück des Artikels verkauft.
Kann der Hersteller davon ausgehen, dass innerhalb des ersten Jahres wenigstens 5500 Stück verkauft werden? |
Hallo,
ich wollte folgende Aufgabe als Beispiel in der Präsentation meines Jahresprojektes verwenden, jedoch verstehe ich den Schritt des Logarithmierens nicht wirklich. Die Stelle wo ich hängen bleibe ist fett hervorgehoben. Die Stelle an der ich hängen bleibe ist "Durch Logarithmieren erhält man nun den Wert k, der in diesem Fall k = 0,08 beträgt." Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
In einer Stadt gibt es 40000 Haushalte, von denen schätzungsweise jeder fünfte für den Kauf eines neu auf den Markt gebrachten Haushaltsartikels in Frage kommt. Es ist damit zu rechnen, dass der Absatz des Artikels im Laufe der Zeit schwieriger wird, da der Kreis der Käufer und deren Kauflust abnimmt. In den ersten drei Monaten werden 1700 Stück des Artikels verkauft.
Kann der Hersteller davon ausgehen, dass innerhalb des ersten Jahres wenigstens 5500 Stück verkauft werden?
Rechnung:
Aus dem obigen Text folgt, dass die Grenze G = 8000 ist (d.i. ein Fünftel von 40000)!
Damit kann man mit der allgemeinen Formel den Ansatz f(t) = 8000 a · e kt ableiten.
Da zu dem Zeitpunkt t = 0 noch keine Geräte verkauft wurden, folgt f(0) = 0
also 0 = 8000 a oder a = 8000.
Somit folgt die Funktionsgleichung
f(t) = 8000 8000 · e ^ kt = 8000 (1 e^ kt ).
Da nach drei Monaten 1700 Geräte verkauft wurden, folgt f(3) = 1700 , was auf die Gleichung 1700 = 8000 (1 e^ k ( 3) ) führt.
Durch Logarithmieren erhält man nun den Wert k, der in diesem Fall k = 0,08 beträgt.
Somit hat man sich nun mit Hilfe des Eingangstextes die Funktionsgleichung dieses beschränkten Wachstums hergeleitet:
f(t) = 8000 (1 e ^ 0,08t)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Di 09.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chris!
Die aufzulösende Gleichung lautet:
$1700 \ = \ [mm] 8000*\left(1-e^{-k*3} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] 8000*\left(1-e^{-3k} \ \right)$
[/mm]
Zunächst teilen wir durch $8000_$ und stellen um nach [mm] $e^{(...)} [/mm] \ = \ ...$ :
[mm] $e^{-3k} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{17}{80} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{63}{80}$
[/mm]
Nun auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] anwenden:
[mm] $\ln\left(e^{-3k}\right) [/mm] \ = \ -3k \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{63}{80}\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0.23889$
Nun im letzten Schritt durch $-3_$ teilen ...
Gruß
Loddar
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