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Aufgabe:
a) f(x) = log ( [mm]\frac{1 + \sqrt{1 - x^2} }{x}[/mm] )
f'(x) = [mm]\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{1 - x^2} }{x}}[/mm] * [mm]\frac{-x^2}{\frac{\sqrt{1 - x^2} - (1 + \sqrt{1 - x^2})} {x^2}}[/mm]
Allerdings soll [mm] - (1 + \sqrt{1 - x^2})[/mm] nicht in den Nenner von [mm]-x^2[/mm], ich hoffe man
sieht was ich meine, verzeiht bitte, dass ich es nicht besser
hinbekommen habe...stimmt es aber?
b) f(x) = [mm]\sqrt{\frac{a + bx} {a - bx}}[/mm] für a, b > 0
Hier brauche ich Hilfe, da weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.
Danke schonmal im Voraus!
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Ptolemaios,
> Aufgabe:
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> a) f(x) = log ( [mm]\frac{1 + \sqrt{1 - x^2} }{x}[/mm] )
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> f'(x) = [mm]\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{1 - x^2} }{x}}[/mm] * [mm]\frac{-x^2}{\frac{\sqrt{1 - x^2} - (1 + \sqrt{1 - x^2})} {x^2}}[/mm]
>
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> Allerdings soll [mm]- (1 + \sqrt{1 - x^2})[/mm] nicht in den Nenner
> von [mm]-x^2[/mm], ich hoffe man
>
> sieht was ich meine, verzeiht bitte, dass ich es nicht
> besser
Ehrlich gesagt, ich sehe nicht, was du meinst, sieht ziemlich unübersichtlich aus. Du kennst bestimmt [mm] \ln(\bruch{a}{b})=\ln(a)-\ln(b). [/mm] Wende das hier mal an, dann hast du keine Quotientenregel.
Nach Umformen und Vereinfachen kommt übrigens [mm] -\bruch{1}{x\wurzel{1-x^2}} [/mm] raus.
>
> hinbekommen habe...stimmt es aber?
>
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> b) f(x) = [mm]\sqrt{\frac{a + bx} {a - bx}}[/mm] für a, b > 0
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> Hier brauche ich Hilfe, da weiß ich nicht wie ich vorgehen
> soll.
Benutze [mm] \wurzel(y)=y^{\bruch{1}{2}} [/mm] und dann weiter mit Ketten- bzw. Quotientenregel, würde ich sagen.
LG walde
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Hallo & danke Walde,
zur a) f'(x) = [mm]\bruch{1}{1 + \wurzel{1-x^2}}[/mm] * [mm]-\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
soweit bin ich gekommen. Aber wie kommst Du dann auf [mm]-\bruch{1}{x\wurzel{1-x^2}}[/mm] ?
zur b) mit deinem Tipp und erstmal ohne die Wurzel komme ich auf:
f'(x) = [mm]\bruch{a + bx}{a - bx}[/mm] = [mm]\bruch{b * (a - bx) - ((a + bx) * (-b))}{(a - bx)^2}[/mm] = [mm]\bruch{2ab}{(a - bx)^2}[/mm]
Nun noch die Wurzel beachten und ich bekomme das raus:
f'(x) = [mm]\bruch{1}{0,5 * \wurzel{\bruch{2ab}{(a - bx)^2}}}[/mm]
Stimmt das?
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 20.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die Kettenregel ganz falsch angewandt!
g(x)=$ [mm] \bruch{a + bx}{a - bx} [/mm] $
(f(g(x))'=f'(g)*g' nicht wie du f'(g')
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:33 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo & danke Walde,
Gern geschehen.
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> zur a) f'(x) = [mm]\bruch{1}{1 + \wurzel{1-x^2}}[/mm] * [mm]-\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
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> soweit bin ich gekommen. Aber wie kommst Du dann auf
> [mm]-\bruch{1}{x\wurzel{1-x^2}}[/mm] ?
Ja, da muß man bisschen umformen/zusammenfassen. Erweitere den linken Bruch mit [mm] 1-\wurzel{1-x^2} [/mm] (dann hast du im Nenner die 3.bin Formel), den rechten Summanden dann mit [mm] x*\wurzel{1-x^2}
[/mm]
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> zur b) mit deinem Tipp und erstmal ohne die Wurzel komme
> ich auf:
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> f'(x) = [mm]\bruch{a + bx}{a - bx}[/mm] = [mm]\bruch{b * (a - bx) - ((a + bx) * (-b))}{(a - bx)^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{2ab}{(a - bx)^2}[/mm]
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> Nun noch die Wurzel beachten und ich bekomme das raus:
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{0,5 * \wurzel{\bruch{2ab}{(a - bx)^2}}}[/mm]
>
> Stimmt das?
>
Nee, siehe Leduarts Antwort.
LG walde
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