Hessische Matrix-Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Do 15.07.2010 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Extrema der folgenden Funktionen:
[mm] \{f(x,y,z):=x^2y+y^2z+z^2x} [/mm] |
Nun habe ich zuerst abgeleitet:
[mm] \{f_x(x,y,z)=2xy+z^2}
[/mm]
[mm] \{f_y(x,y,z)=x^2+2yz}
[/mm]
[mm] \{f_z(x,y,z)=y^2+2zx}
[/mm]
nun habe ich den kritischen Punkt bestimmt und zwar gibts da nur einen P(0,0,0)
dann muss man die Hessesche Matrix bestimmen
[mm] \{Hf(x,y,z)=\pmat{ 2y & 2x & 2z \\ 2x & 2z & 2y \\ 2z & 2y & 2x }}
[/mm]
und jetzt kann man den Punkt P(0,0,0) einsetzen
man sieht dann, dass die Hessische Matrix semidefinit wird:
[mm] \{Hf(0,0,0)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }}
[/mm]
nun sagt die Matrix über den kritischen Punkt nichts aus.
wie kann den Punkt weiter untersuchen?
ich dachte ich könnte jetzt eine Umgebung um P(0,0,0) wählen und das Verhalten der Funktion untersuchen oder gibt es eine bessere Methode??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Do 15.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich würde mich der Stelle mal z.B. aus den Richtungen [mm] v=\vektor{0 \\ \bruch{1}{t} \\ t^4} [/mm] und [mm] w=\vektor{0 \\ \bruch{1}{t} \\ -t^4} [/mm] nähern. Dann ist [mm] f_v(t)=t^2 [/mm] und [mm] f_w(t)=-t^2.
[/mm]
Was sagt dir das?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Do 15.07.2010 | | Autor: | can19 |
das heißt jetzt das der Punkt P(0,0,0) keine Extremstelle ist.
weil sie einmal um den Punkt in eine Richtung positiv ist und in die andere Richtung negativ.
Aber wie bist du auf v und w gekommen? wie stelle ich sowas auf??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Do 15.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Genau, so kann man das sagen.
Um auf ein v und ein w zu kommen, muss man wohl etwas probieren (musste ich auch erst). Ich musste einfach nur 2 Funktionen erschaffen, die in 0 einen Maximum bzw. ein Minimum haben, und dabei habe ich zuerst einfach an Parabeln oder solch einfache Gebilde gedacht. x hab ich von vornherein einfach mal 0 gesetzt, da dann nur noch ein Term in f übrig bleibt (y^2z) um den ich mich kümmern muss. Und wenn ich da nun eine Parabel hinzaubern will, so kann man die Werte für y und z eben so wählen, wie ich es getan hab (geht natürlich auch anders). Also ein immer funktionierendes Rezept kann ich dir leider nicht geben, aber man sollte immer versuchen sich die Arbeit leicht zu machen. Bei Polynomen wird das wahrscheinlich immer irgendwie so klappen, dass du ein paar Komponenten 0 setzt und beim Rest auf eine Parabel oder so etwas hinarbeitest. Bei anderen Funktionen muss man dann vielleicht auch andere Geschütze auffahren.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Do 15.07.2010 | | Autor: | can19 |
ok :) vielen dank!!!
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Hallo,
Mensch, Mensch, die ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix kommt nicht aus Hessen, heißt demzufolge auch nicht Hessische Matrix, sondern allenfalls Hesse'sche Matrix.
Ihr "Erfinder" Otto Hesse würde sich im Grabe herumdrehen ...
Gruß
schachuzipus
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