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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:03 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte
[mm] $A=\vektor{2 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $B=\vektor{11 \\ 3}$ [/mm]
Die Punkte bilden mit einem weiteren Punkt ein allgemeines Dreieck.
Weiterhin gilt:
[mm] $b=\{z\in \IR^2| =p\}$ [/mm]
wobei [mm] $n=\bruch{1}{5}\vektor{4 \\ -3}$ [/mm] und [mm] $p=\bruch{8}{5}$
[/mm]
[mm] $a=\{z\in \IR^2|\vektor{11 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3}|\lambda\in \IR\}$
[/mm]
1. Bestimme Punkt C
2. Bestimme die Hessesche Normalform der Geraden a
3. Bestimme die Punkt - Richtungsform der Geraden b
4. Bestimme die Länge |AB| |
Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe etwas weiterhelfen? Aufgabe 4 ist klar, aber die Umformung der Geradendarstellun ist mir noch recht fremd.
1. Bestimme Punkt C: Meine Idee: Der Schnittpunkt von den Geraden a und b ist Punkt C. Da ist aber das Problem der Umformung von den Geraden. Könnt ihr mir da nochmal etwas zu erklären?
LG
heinze
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Hallo,
könntest du die Aufgabe vielleicht nochmal im Originalwortlaut angeben? So braucht man schon am Montagmorgen wieder hellseherische Fähigkeiten. 
Also wenn das da so steht, dass C der Schnittpunkt von a und b ist, dann würde ich die Gleichung von a in die Koordinatenform umwandeln und mit der HNF von b zu einem LGS zusammenfassen.
Die Umwandlung gelingt im [mm] \IR^2 [/mm] recht einfach: vertauschen der Koordionaten des Richtungsvektors und Umkehren eines der beiden Vorzeichen bringt dir sofort einen Normalenvektor. Mit z*n=p bekommst du mit einem Punkt Z (hier: Z(11|0)) die Koordinatendarstellung. Der Rest sollte klar sein.
HNF von a bekommst du durch Normieren des Normalenvektors. Punkt-Richtungsform aus der Koordiantenform kann man entweder dadurch bekommen, dass man sich zwei Punkte errechnet, die auf der Geraden liegen, oder man fasst die Geradengleichung als 1x2-LGS auf, löst in Abhängigkeit eines Parameters und schreibt die Lösungsmenge in Form von Vektoren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
Kannst du mir das an dem Beispiel nochmal vorrechnen wie man die Gleichung von a) in HNF umwandelt und wie man die Punktrichtungsform aus der HNF gewinnt? Das habe ich noch immer nicht verstanden.
Gerade a ist doch schon in der Koordinatenform! Wäre es da nicht sinnvoller wenn ich b auch in die Koordinatenform umwandle um den Schnittpunkt zu bestimmen?
Wenn ich a auch in HNF umwandle um den Schnittpunkt zu ermitteln:
Also nochmal: [mm] \vektor{11 \\ 0}+\lambda \vektor{0 \\ 3} [/mm] in HNF
[mm] n=\vektor{-3 \\ 0}
[/mm]
[mm] A=\vektor{11 \\ 0}
[/mm]
[mm] (p_1-a_1)n_1+(p_2-a_2)n_2=0
[/mm]
[mm] (p_1-11)(-3)+(p_2-0)0=0
[/mm]
[mm] p_1=-11
[/mm]
Was stimmt hier nicht?
LG heinze
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Hallo,
> Kannst du mir das an dem Beispiel nochmal vorrechnen wie
> man die Gleichung von a) in HNF umwandelt und wie man die
> Punktrichtungsform aus der HNF gewinnt? Das habe ich noch
> immer nicht verstanden.
>
> Gerade a ist doch schon in der Koordinatenform!
Nö. Schlage die Begriffe nochmals gründlich nach. Die Gerade a ist in der Punkt-Richtungsform gegeben, b ist in der Hesseschen Normalenform (weshalb?).
Wäre es da
> nicht sinnvoller wenn ich b auch in die Koordinatenform
> umwandle um den Schnittpunkt zu bestimmen?
>
> Wenn ich a auch in HNF umwandle um den Schnittpunkt zu
> ermitteln:
> Also nochmal: [mm]\vektor{11 \\
0}+\lambda \vektor{0 \\
3}[/mm] in
> HNF
>
> [mm]n=\vektor{-3 \\
0}[/mm]
> [mm]A=\vektor{11 \\
0}[/mm]
Zunächstmal: der Normalenvektor ist hier richtig. Man könnte ihn noch normieren zu
[mm] \vec{n}_0=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
aber das ist in der Aufgabe nicht verlangt. Wir machen es aber und erhalten sofort:
[mm] p=\vektor{11 \\ 0}*\vektor{1 \\ 0}=11
[/mm]
Also ist
a: [mm] x_1=11
[/mm]
die HNF der Geraden a.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Di 31.07.2012 | | Autor: | heinze |
Okay, die Umwandlung in HNF ist mir nun klar wenn ich eine Parameterform habe.
Wenn ich nun aber [mm] z=\vektor{11 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3} [/mm] in Koordinatenform umwandeln soll, erhalte ich dann:
0*x+3*y=0 also 3y=0??
das sieht mir etwas suspekt aus, müsste aber laut Rechnung stimmen.
wenn ich nun den Punkt C berechnen will der Schnittpunkt von a und b ist, dann habe ich für b: [mm] 11x_1+3x_2=0 [/mm] und a: [mm] x_1=11 [/mm] Dann wäre ja der Schnittpunkt C [mm] =(11/\bruch{121}{3})
[/mm]
LG heinze
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Hallo,
> Okay, die Umwandlung in HNF ist mir nun klar wenn ich eine
> Parameterform habe.
>
> Wenn ich nun aber [mm]z=\vektor{11 \\
0}+\lambda\vektor{0 \\
3}[/mm]
> in Koordinatenform umwandeln soll, erhalte ich dann:
>
> 0*x+3*y=0 also 3y=0??
>
> das sieht mir etwas suspekt aus, müsste aber laut Rechnung
> stimmen.
>
Nein: es stimmt nicht. Du benötigst einen Normalenvektor zu deiner Geraden. Hier kann man die Koordinatenform jedoch noch viel einfacher bekommen: Die Gerade verläuft senkrecht an der Stelle [mm] x_1=11. [/mm] Und
g: [mm] x_1=11
[/mm]
ist demnach die Koordinatenform dieser Geraden.
> wenn ich nun den Punkt C berechnen will der Schnittpunkt
> von a und b ist, dann habe ich für b: [mm]11x_1+3x_2=0[/mm] und a:
> [mm]x_1=11[/mm] Dann wäre ja der Schnittpunkt C
> [mm]=(11/\bruch{121}{3})[/mm]
Nein, da ist noch ein Vorzeichenfehler drin (bei der [mm] x_2-Koordinate).
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Di 31.07.2012 | | Autor: | heinze |
Wenn ich aber nich weiß dass die Gerade senkrecht dort verläuft, wie kann ich dann die Koordinatenform von einer Parameterform berechnen? Wäre mein Normalenvektor [mm] \vektor{-3 \\ 0}? [/mm]
Und mit dem Normalenvektor dann [mm] -3x_1=-33 [/mm] also [mm] x_1=11
[/mm]
LG
heinze
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Hallo,
> Wenn ich aber nich weiß dass die Gerade senkrecht dort
> verläuft, wie kann ich dann die Koordinatenform von einer
> Parameterform berechnen? Wäre mein Normalenvektor
> [mm]\vektor{-3 \\
0}?[/mm]
Ja, oder einfach gleich [mm] (1,0)^T. [/mm] Das hatten wir doch alles schon besprochen?
Man kann auch die Parameterform als LGS interpretieren und den Parameter durch Äquivalenzumformungen eliminieren, da muss natürlich auch die Koordinatenform dabei herauskommen.
> Und mit dem Normalenvektor dann [mm]-3x_1=-33[/mm] also [mm]x_1=11[/mm]
Jo. Frei nach dem Motto Warum einfach, wenn es auch umständlich geht?
Gruß, Diophant
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Wie kommt man denn auf die Gleichung für b? Könnt ihr das nochmal erklären?
[mm] n=\bruch{1}{5}\vektor{4 \\ -3}
[/mm]
[mm] p=\bruch{8}{5}
[/mm]
<z,n>=p
kriege ich dann nicht als Gleichung [mm] \bruch{4}{5}z_1-\bruch{3}{5}z_2=\bruch{8}{5}? [/mm]
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Wie kommt man denn auf die Gleichung für b? Könnt ihr das
> nochmal erklären?
>
> [mm]n=\bruch{1}{5}\vektor{4 \\
-3}[/mm]
>
> [mm]p=\bruch{8}{5}[/mm]
>
> <z,n>=p
>
> kriege ich dann nicht als Gleichung
> [mm]\bruch{4}{5}z_1-\bruch{3}{5}z_2=\bruch{8}{5}?[/mm]
Ja. Übersichtlicher ist allerdings [mm] $4z_1-3z_2=8$
[/mm]
Grüße
reverend
</z,n>
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Kann es sein dass der Schnittpunkt falsch ist?
[mm] 4x_1-3x_2=8 [/mm] und [mm] x_1=11
[/mm]
kann ich dann nicht [mm] x_1 [/mm] einsetzen, also [mm] 44-3x_2=8 [/mm] mit [mm] x_2=12 [/mm] und somit ist der Schnittpunkt [mm] S=\vektor{11 \\ 12}?
[/mm]
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Kann es sein dass der Schnittpunkt falsch ist?
>
> [mm]4x_1-3x_2=8[/mm] und [mm]x_1=11[/mm]
>
> kann ich dann nicht [mm]x_1[/mm] einsetzen, also [mm]44-3x_2=8[/mm] mit
> [mm]x_2=12[/mm] und somit ist der Schnittpunkt [mm]S=\vektor{11 \\ 12}?[/mm]
>
Ja, da hast Du recht.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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