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Hi Leute,
versuche gerade die Zusammenhänge zwischen Determinante und Hessematrix mir zu verinnerlichen.
Da bald wieder mal eine Klausur ansteht, hoffe ich ihr könnt mir weiterhelfen.
Lt. Vorlesung gilt:
Sei A eine symmetrische Martix. Wenn [mm] a_{11} [/mm] > 0 ist und zugleich det [mm] A_{2} [/mm] > 0 so ist [mm] A_{2} [/mm] positiv definit. Ist [mm] A_{2} [/mm] positiv definit, so ist auch [mm] A_{3} [/mm] positiv definit.
Meine Frage:
ist dies auf [mm] A_{n} [/mm] erweiterbar?
D.h. Ist eine Determinante einer [mm] A_{4} [/mm] Matrix (symmetrisch) oder einer [mm] A_{5} [/mm] Matrix > 0 wenn ihre linksobere [mm] A_{2} [/mm] Matrix (Hauptminor) > 0 ist.
Ursprung dieser Überlegungen war folgende Aufgabe:
[mm] Lf(x,y,z,\lambda) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] + [mm] \lambda(x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{2} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] - 4)
Die zugehörige Hessematrix des Extremwerts [mm] (0,+\wurzel{2},0) [/mm] ist negativ obwohl dort lt. Lösung ein Minimum ist.
Gruß
Prof.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mo 21.11.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hey,
ich meine mich erinnern zu können, dass wenn man eine nxn-Matrix hat nicht aus det [mm] A_{2} [/mm] >0 schließen kann, dass die gesamte Matrix positiv definit ist.
Alle [mm] A_{j} [/mm] müssen positiv definit sein, bzw. alle Unterminoren müssen positiv definit sein.
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