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| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene E: 3x+2x+4x=12
Die Spurpunkte S1,S2 und S3 der Ebene E bilden zusammen mit dem Usprung 0 die Ecken einer Pyramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide möglichst geschickt. Benötigen Sie dazu die Hesse sche Normalform? |
hi,
Ich komme leider nicht weiter...
Ich weiß das Volumen einer Pyramide A= 1/3 *g*h und habe die Ebene gegeben aber was muss ich jetzt machen.
Was sind die Spurpunkte?
Benötige ich die Normalform(HN)
Hoffe jemand kann mir helfen.
Vielen Dank
Gruß Daniel
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Hallo Desperado,
> Gegeben ist die Ebene E: 3x+2x+4x=12
> Die Spurpunkte S1,S2 und S3 der Ebene E bilden zusammen
> mit dem Usprung 0 die Ecken einer Pyramide. Berechnen Sie
> das Volumen dieser Pyramide möglichst geschickt. Benötigen
> Sie dazu die Hesse sche Normalform?
> hi,
> Ich komme leider nicht weiter...
> Ich weiß das Volumen einer Pyramide A= 1/3 *g*h und habe
> die Ebene gegeben aber was muss ich jetzt machen.
> Was sind die Spurpunkte?
> Benötige ich die Normalform(HN)
>
Warte doch bitte erst mal die Antwort auf deine andere Frage ab!
Du wirst es nicht schaffen, zwei Aufgaben simultan zu bearbeiten! 
Gruß informix
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e>> v3 wg. verunglückter formatierung und korrektur in den Koordinaten von [mm] \vec{n}_{H}, [/mm] in denen ich mich im stumpfsinnigen abtippen vertan habe *lach*.
Abend!
Klassische Aufgabe.
Spurpunkte in einer Ebene sind die "Durchstoßpunkte" von Geraden durch diese Ebene- gemeint sind hier wohl die Spurpunkte durch die Achsen, also die Schnittpunkte der Ebene E mit ihnen.
Man erhält sie durch "Einsetzung der Achsen" in die Koordinatengleichung der Ebene, für [mm] Sx_{1}:
[/mm]
[mm] 3x_{1} [/mm] + 2*0 + 4*0 = 12 [mm] \gdw x_{1} [/mm] = 4 [mm] \rightarrow Sx_{1} [/mm] (4/0/0).
Entsprechend erhält man dann für die anderen beiden Spurpunkte
[mm] Sx_{2} [/mm] (0/6/0),
[mm] Sx_{3} [/mm] (0/0/3).
Ich benutze um das Volumen zu berechnen eine etwas kompakte Methode, verwendet aber ganz elegant -wie ich finde *g- die HNF zur Abstandsberechnung (erinnere: HNF: [mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p}]*\vec{n}_{0} [/mm] = 0, [mm] \vec{p} [/mm] ist Ortsvektor und [mm] \vec{n}_{0} [/mm] ist Einheitsnormalenvektor).
Zuerst wähle und berechne ich die Grundseite der Pyramidengrundfläche, z.B.:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{Sx}_{2} [/mm] - [mm] \vec{Sx}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 6 \\ 0}; [/mm] | [mm] \vec{a}| [/mm] = [mm] \wurzel{52}.
[/mm]
Als Höhe des Dreiecks benötige ich den Abstand zwischen (0/0/3) und dem Geradenteil, der z.B. duch [mm] Sx_{1} [/mm] geortet ist mit der Richtung durch [mm] \vec{a}. [/mm] Dazu nehme ich mir den Normalenvektor [mm] \vec{n}_{H}, [/mm] der in Richtung [mm] Sx_{3} [/mm] zeigt einer Hilfsebene H, die den Punkt [mm] Sx_{1} [/mm] enthält. Den erhalte ich aus dem Kreuzprodukt von [mm] \vec{n}_{E} [/mm] mit [mm] \vec{a} [/mm] (hier gekürzt):
[mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 4} [/mm] x [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-12 \\ -8 \\ 13}.
[/mm]
Diesen benutze ich nun zur Abstandsberechnung Punkt-Ebene mit Hesse (Ebene ist durch [mm] Sx_{1} [/mm] geortet):
[mm] d(H,Sx_{3}) [/mm] = [mm] [\vektor{0 \\ 0 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0}] [/mm] * [mm] \vektor{-12 \\ -8 \\ 13} [/mm] / [mm] \wurzel{377} [/mm] = 87 / [mm] \wurzel{377}.
[/mm]
( [mm] \wurzel{377} [/mm] ist Betrag von [mm] \vec{n}_{H} [/mm] ).
Nun lässt sich das Dreieck berechnen:
D = 87 / [mm] \wurzel{377} [/mm] * [mm] \wurzel{52} [/mm] * (1/2) = [mm] \wurzel{261}.
[/mm]
Nun bloß noch die Höhe der Pyramide, wiederum mit Hesse, also
d(E,(0/0/0)) =[ [mm] \vec{0} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0}] [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 4} [/mm] * [mm] \wurzel{29}^{-1} [/mm] = [mm] 12*\wurzel{29}^{-1}. [/mm] ( [mm] \wurzel{29} [/mm] ist Betrag von [mm] \vec{n}_{E} [/mm] ).
Nunja, und nach deiner Formel ergibt sich dann für das Volumen:
V = [mm] \wurzel{9} [/mm] * (12/3) = 12.
Hübsche runde Zahl.
Auf dann.
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