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| Aufgabe | [mm] a1=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] b1=\vektor{2 \\ i-1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] c1=\vektor{2 \\ 2-i \\ 0 \\ -i}
[/mm]
[mm] d1=\vektor{1 \\ 1 \\ i \\ 0}
[/mm]
[mm] \mathcal{H}:=H(a1,b1,c1,d1)
[/mm]
Mit [mm] \mathcal{H} [/mm] liegt eine affine Hyperebene vor.
Ermittle eine Gleichung von [mm] \mathcal{H} [/mm] in Hesse - Normalform |
Meine Frage: wie ermittle ich die HNF bei einer Hyperebene? Ich habe doch auch gar keinen Punkt gegeben?!
Kann ich einfach einen Punkt nehmen der in allen Vektoren "enthalten" ist, z.b [mm] a1=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] und den dann abziehen von den anderen vekotren? oder ist das ganz falsch?! kann mir jemand helfen? Danke
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> [mm]a1=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}\quad ,\quad b1=\vektor{2 \\ i-1 \\ 0 \\ 0}\quad ,\quad c1=\vektor{2 \\ 2-i \\ 0 \\ -i}\quad ,\quad d1=\vektor{1 \\ 1 \\ i \\ 0}[/mm]
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> [mm]\mathcal{H}:=H(a1,b1,c1,d1)[/mm]
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> Mit [mm]\mathcal{H}[/mm] liegt eine affine Hyperebene vor.
>
> Ermittle eine Gleichung von [mm]\mathcal{H}[/mm] in Hesse -
> Normalform
> Meine Frage: wie ermittle ich die HNF bei einer
> Hyperebene? Ich habe doch auch gar keinen Punkt gegeben?!
>
> Kann ich einfach einen Punkt nehmen der in allen Vektoren
> "enthalten" ist, z.b [mm]a1=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},[/mm] und den
> dann abziehen von den anderen vekotren? oder ist das ganz
> falsch?! kann mir jemand helfen? Danke
Hallo Inocencia,
ich bin nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe so interpre-
tiere, wie sie gemeint ist:
Gegeben sind 4 Punkte im Raum [mm] \IR^4 [/mm] . H ist die durch diese
4 Punkte bestimmte Hyperebene in diesem Raum.
Dann ist die Aufgabe im Prinzip ganz analog zur folgenden
Aufgabe im Raum [mm] \IR^3 [/mm] zu lösen:
"Ermittle eine HNF - Gleichung der Ebene E, welche durch
die 3 Punkte A(5|1|0), B(4|0|1), C(0|2|2) bestimmt ist."
Wenn ich die Aufgabe falsch interpretiert haben sollte,
müsstest du zuerst mal genau mitteilen, in welchem Raum
sich alles abspielen soll und insbesondere, was mit dem "i"
in den Vektorkomponenten gemeint sein soll. Soll es etwa
die imaginäre Einheit sein ?
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Inocencia |
Oh tut mir leid, hatte vergessen zu erwähnen, also wir sind im
[mm] \IC^{4x1} [/mm]
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Mir ist es jetzt noch immer nicht ganz klar, geht es jetzt so wie im 3 dimensionalen Fall?
Also war das schon richtig was ich gesagt habe, ich nehme zb a1 ziehe den von den anderen ab, aber wie gehts dann weiter? Was mache ich mit den 3 neuen Vektoren?
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Hallo Inocencia,
> Mir ist es jetzt noch immer nicht ganz klar, geht es jetzt
> so wie im 3 dimensionalen Fall?
Im Prinzip ja.
> Also war das schon richtig was ich gesagt habe, ich nehme
> zb a1 ziehe den von den anderen ab, aber wie gehts dann
> weiter? Was mache ich mit den 3 neuen Vektoren?
Das sind die drei Richtungsvektoren Deiner Hyperebene.
Für die HNF brauchst Du jetzt einen vierten, der auf den drei andern senkrecht steht.
Grüße
reverend
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halloReverend, danke für deine Antwort.
Nur könntest Du (oder jemand anders) mir vielleich sagen wie ich den 4.Vektor finde, wir haben sowas noch nie gemacht und in meinem LineareAlgebra Skriptum finde ich dazu auch nichts :(
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> halloReverend, danke für deine Antwort.
>
> Nur könntest Du (oder jemand anders) mir vielleich sagen
> wie ich den 4.Vektor finde, wir haben sowas noch nie
> gemacht und in meinem LineareAlgebra Skriptum finde ich
> dazu auch nichts :(
Hallo Inocencia,
gerade schau ich da wieder rein und sehe, dass
du gerade eine Anschlussfrage gestellt hast. Ich
habe mir vorher schon die Vektoren
$\ e\ =\ [mm] b_1-a_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\i-2\\0\\0}$ [/mm]
$\ f\ =\ [mm] c_1-a_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\1-i\\0\\-i}$ [/mm]
$\ g\ =\ [mm] d_1-a_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0\\i\\0}$
[/mm]
berechnet und mir überlegt, wie man einen zu
diesen 3 Vektoren orthogonalen Vektor n bestimmt.
Ich schreibe
$\ n\ =\ [mm] \pmat{p\\q\\r\\s}$
[/mm]
und wähle zunächst einmal einfach s:=1 , weil wir
ja 4 Unbekannte und nur 3 Gleichungen haben, welche
besagen, dass e*n=0 und f*n=0 ung g*n=0 sein soll.
Also dürfen wir vorerst eine freie Wahl treffen.
Die 3 Gleichungen kann man in eine Matrixgleichung
zusammenfassen, welche so aussieht:
[mm] $\underbrace{\pmat{e_1&e_2&e_3\\f_1&f_2&f_3\\g_1&g_2&g_3\\}}_M*\pmat{p\\q\\r} [/mm] =\ -\ [mm] \pmat{e_4\\f_4\\g_4}$ [/mm]
Diese Matrixgleichung lässt sich mittels der zu M
inversen Matrix nach dem Vektor [mm] \pmat{p\\q\\r}
[/mm]
auflösen, welchem man dann nur noch die vierte
Komponente s = 1 hinzufügen kann, um einen ersten
möglichen "Normalenvektor" n zu erhalten.
Anschließend geht es dann noch um die für die HNF
notwendige geeignete Normierung dieses Vektors n.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Inocencia |
Dankeschön für die Erklärung :)
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