www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Hesse Matrix
Hesse Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Hesse Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Fr 24.07.2009
Autor: wiggle

Aufgabe
Gegeben: eine [mm] $(2\times2)$ [/mm] Hesse Matrix
in der Form:

[mm] $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} -2 & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{n}{2}\end{array}\right)$ [/mm]

Bestimme, ob es sich bei dem stationären Punkt um ein Maximum oder Minimum handelt!
Dabei ist [mm] $n\in\mathbb{R^+} [/mm]

Ok, ich habe schon in meinen (Wiwi) Mathe Büchern gekramt.
Das Problem ist, dass ich unbedingt an diesem Punkt, wo die Hesse Matrix so aussieht einen Maximumpunkt haben möchte (ein lokales Maximum reicht mir dabei)
Also muss die Matrix positiv definit sein!
Die erste Unterdeterminante ist $-2<0$, ok, das ist super!
Die zweite Determinante ist [mm] det(\mathbf{A})=\left(-2\cdot\left(\frac{1}{2}n\right)\right)-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-n-\frac{1}{4}$ [/mm]

Das ist niemals $>0$, so dass die Notwendige Bedingung nicht erfüllt ist!
So ein Käse...

Gibt es noch irgendeine Chance, dass ich zeigen kann, dass hier doch ein lok. Maximum vorliegt? Welche Infos brauche ich da für die Funktion?

Im Mathe für Wiwis (Sydsaeter, Hammond) steht, dass ein Sattelpunkt vorliegt, wenn bei [mm] $2\times2$ [/mm] Hesse Matrizen (Also bei Funktionen von 2 Veränderlichen) bei der Determinante der Gesamtmatrix  ein ergebnis <0 herauskommt!

Ok, das ist nicht so dolle für mich , dann hätte die Funktion vielleicht ein Randoptimum in der 2. Veränderlichen (die deren doppelte Ableitung in der Matrix rechts unten steht); ist das korrekt?
Dann müsste ich also diese 2. Veränderliche gegen ihren maximal erlaubten Wert laufen lassen, und den Funktionswert an dieser Stelle betrachten;
Was meint Ihr ?

Danke für jegliche Hilfe !

Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt



        
Bezug
Hesse Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Fr 24.07.2009
Autor: XPatrickX

Hallo

> Gegeben: eine [mm](2\times2)[/mm] Hesse Matrix
>  in der Form:
>  
> [mm]$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} -2 & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{n}{2}\end{array}\right)$[/mm]
>  
> Bestimme, ob es sich bei dem stationären Punkt um ein
> Maximum oder Minimum handelt!
>  Dabei ist [mm]$n\in\mathbb{R^+}[/mm]
>  
> Ok, ich habe schon in meinen (Wiwi) Mathe Büchern
> gekramt.
>  Das Problem ist, dass ich unbedingt an diesem Punkt, wo
> die Hesse Matrix so aussieht einen Maximumpunkt haben
> möchte (ein lokales Maximum reicht mir dabei)
> Also muss die Matrix positiv definit sein!

Nein, das ist falsch! Wenn die Hessematrix negativ definit ist, dann liegt ein lokales Maxiumum vor!


Gruß Patrick

Bezug
        
Bezug
Hesse Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:14 Sa 25.07.2009
Autor: wiggle

Sorry, habe einen Fehler gemacht!
Natürlich ist die notwendige Bedingung die der negativ Definitheit!

Sonst bleiben aber alle Fragen offen und von dem Flüchtigkeitsfehler unbeeinflusst!!!

Bezug
                
Bezug
Hesse Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Sa 25.07.2009
Autor: Arcesius

Hallo

Edit: Deine Matrix ist indefinit --> Sattelpunkt

- Hesse Matrix positiv definit: Minimum
- Hesse Matrix negativ definit: Maximum
- Hesse Matrix indefinit: Sattelpunkt

Welche Frage bleibt denn noch offen?

Grüsse, Amaro

Bezug
                        
Bezug
Hesse Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Sa 25.07.2009
Autor: wiggle

Also noch mal langsam:
Eine Matrix [mm] $\mathbf{A}$ [/mm]  ist genau dann negativ definit, falls [mm] $\mathbf{-A}$ [/mm] positiv definit ist!
Eine Matrix ist positiv definit, falls die Determinanten aller Teilmatrizen größer null sind

Also
[mm] $det(-\mathbf{A_{1}})=2$ [/mm] soweit so gut

Jetzt die Determinante von [mm] $\mathbf{-A}$ [/mm]
[mm] $det(-\mathbf{A})=2\cdot\left(-\frac{n}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)^2=-n-\frac{1}{4}<0$ [/mm] , da $n>0$ per Definition

Meine Kenntnisse sagen mir, dass hier auf keinen Fall positive Definitheit von [mm] $\mathbf{-A}$ [/mm] vorliegt, da die Determinante $<0$ ist!

Also ist [mm] $\mathbf{A}$ [/mm] NICHT negativ definit !!!

Bedeutet das, dass [mm] $\mathbf{A}$ [/mm] indefinit  ist und damit ein Sattelpunkt vorliegt?
Habe ich dann gar keine Chance mehr, dass hier ein Maximum vorliegen könnte?




Bezug
                                
Bezug
Hesse Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Sa 25.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Also noch mal langsam:
>  Eine Matrix [mm]\mathbf{A}[/mm]  ist genau dann negativ definit,
> falls [mm]\mathbf{-A}[/mm] positiv definit ist!

Hallo,

ja.

>  Eine Matrix ist positiv definit, falls die Determinanten
> aller Teilmatrizen größer null sind

Das stimmt für symmetrische Matrizen - mit denen Du es hier zu tun hast.

> Also ist [mm]\mathbf{A}[/mm] NICHT negativ definit !!!

Genau.

>  
> Bedeutet das, dass [mm]\mathbf{A}[/mm] indefinit  ist und damit ein
> Sattelpunkt vorliegt?

Ja. Es ist detA<0, und dies garantiert einem bei 2x2-Matrizen das Vorliegen eines Sattelpunktes.

>  Habe ich dann gar keine Chance mehr, dass hier ein Maximum
> vorliegen könnte?

Nein, keinerlei Chancen - es sei denn, es handelt sich um eine Teilaufgabe, und Dir ist vorher was schiefgegangen.

Gruß v. Angela

>  
>
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]