Hesse-NF, Herleitung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 26.11.2009 | | Autor: | schumann |
| Aufgabe | | Leite anschaulich die HNF her. |
Hallo zusammen!
Ich habe ein Problem mit der Hessenormalform. Ich kann Sie anwenden, mehr ode rweniger, also aufstellen. Aber ich möchte gerne wissen, was ich da tue und daher die Herleitung verstehen.
Ich weiß:
- sie entspringt der Normalform durch Verwendung des normierten Einheitsvektors
- das Skalarprodukt spielt ne Rolle
- man kann damit toll abstände berechnen
- ich brauche nen Punkt in der Ebene und den Normalenvektor (durch Kreuzprodukt)
Fangen wir am besten mit der Normalform an:
Ich habe einen Pkt A in der Ebene E.
zum Punkt X in E komme ich durch das Ergenis der vektoriellen Addition
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \overrightarrow{AX} [/mm] ,
denn das ergebnis ist der Ortsvektor von X.
Meine E wird durch alle Ortvektoren aller X beschrieben.
Bis hier versteheh ich die Geschichte und ich frage mich ab hier:
Wofür brauche ich den Normalenvektor,
werlcher Schrit fehlt zur Normalengleichung?
Ich glaube das ist Abistoff und sollte doch verständlich sein, wenn man mal vom Schlauch unten ist.
Danke für Hilfe.
Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Leite anschaulich die HNF her.
> Hallo zusammen!
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> Ich habe ein Problem mit der Hessenormalform. Ich kann sie
> anwenden, mehr oder weniger, also aufstellen. Aber ich
> möchte gerne wissen, was ich da tue und daher die
> Herleitung verstehen.
>
> Ich weiß:
> - sie entspringt der Normalform durch Verwendung des
> normierten Einheitsvektors
> - das Skalarprodukt spielt ne Rolle
> - man kann damit toll abstände berechnen
> - ich brauche nen Punkt in der Ebene und den
> Normalenvektor (durch Kreuzprodukt)
>
> Fangen wir am besten mit der Normalform an:
>
> Ich habe einen Pkt A in der Ebene E.
> zum Punkt X in E komme ich durch das Ergebnis der
> vektoriellen Addition
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\overrightarrow{AX}[/mm] ,
> denn das Ergebnis ist der Ortsvektor von X.
> Meine E wird durch alle Ortvektoren aller X beschrieben.
>
> Bis hier versteheh ich die Geschichte und ich frage mich ab
> hier:
> Wofür brauche ich den Normalenvektor,
> werlcher Schritt fehlt zur Normalengleichung?
>
> Ich glaube das ist Abistoff und sollte doch verständlich
> sein, wenn man mal vom Schlauch unten ist.
Hello Mr. Schumann,
Zeichne von A aus den Vektor [mm] \overrightarrow{AX} [/mm] sowie die Ebenen-
normale n und darauf den Normalen-Einheitsvektor [mm] \vec{n} [/mm] .
F sei der Schnittpunkt von n mit der Parallelebene
zu E durch X. Dann gilt für die skalare Projektion
von [mm] \overrightarrow{AX} [/mm] auf [mm] \vec{n} [/mm] die Formel:
$ [mm] \pm\left|\overrightarrow{AF}\right|\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{AX}*\vec{n}\ [/mm] =\ [mm] \left|\overrightarrow{AX}\right|*\underbrace{|\vec{n}|}_{1}*cos(\varphi)$ [/mm]
(das Vorzeichen zeigt an, auf welcher Seite von E der
Punkt X liegt)
Der Abstand d des Punktes (jetzt ohne Vorzeichen), ist
$\ d\ =\ [mm] \left|\overrightarrow{AF}\right|\ [/mm] =\ [mm] \left|\overrightarrow{AX}*\vec{n}\right|\ [/mm] =\ [mm] |\overrightarrow{X}*\vec{n}-\underbrace{\overrightarrow{A}*\vec{n}}_{D}|$
[/mm]
Die Ebenengleichung in HNF ist [mm] \overrightarrow{P}*\vec{n}-D=0 [/mm] .
Setzt man hier nun links anstelle eines Punktes [mm] P\in{E} [/mm]
einen beliebigen Punkt X ein, so ergibt sich
[mm] $\overrightarrow{X}*\vec{n}-D\ [/mm] =\ [mm] \pm [/mm] d$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 26.11.2009 | | Autor: | schumann |
Hallo Al-Chwarizmi !
Danke für die Antwort. :)
"F sei der Schnittpunkt von n mit der Parallelebene
zu E durch X."
Beim Zeichnen verstehe ich nicht:
Wenn wie in meinem Text geschildert X in E liegt:
Wie kann ich eine Parallele Ebene zu E erstellen, die auch wieder durch X geht, ohne dass es dieselbe Ebene ist?
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> Hallo Al-Chwarizmi !
>
> Danke für die Antwort. :)
>
> "F sei der Schnittpunkt von n mit der Parallelebene
> zu E durch X."
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> Beim Zeichnen verstehe ich nicht:
>
> Wenn wie in meinem Text geschildert X in E liegt:
> Wie kann ich eine Parallele Ebene zu E erstellen, die auch
> wieder durch X geht, ohne dass es dieselbe Ebene ist?
Sorry, dass ich beim Lesen deiner Frage nicht genau
aufgepasst habe. Ich meine mit X einen beliebigen
Punkt im Raum, der also nicht in E liegen muss.
Ich habe nachher den Buchstaben P für einen Punkt in E
verwendet. Falls X auch in E liegt, ist natürlich die
Parallelebene gleich E und somit F=A und d=0.
Die Hesse-Form braucht man aber insbesondere für
die Abstandsberechnung, also muss man auch Punkte
ausserhalb von E betrachten. Für Punkte in E ist
die Hesse-Form nicht besonders spannend.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 26.11.2009 | | Autor: | schumann |
Danke nochmals!!
Bzgl:
$ [mm] \pm\left|\overrightarrow{AF}\right|\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{AX}\cdot{}\vec{n}\ [/mm] =\ [mm] \left|\overrightarrow{AX}\right|\cdot{}\underbrace{|\vec{n}|}_{1}\cdot{}cos(\varphi) [/mm] $
Ich sehe diesen Zusammenhang leider überhaupt nicht.
Mir würde ein Abiturient gut tun, der mir erklärt, wie sie in der 11. Klasse die HNF hergeleitet haben...:)
Timmt die Skizze denn?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
eine Skizze, in welcher die Ebene als Gerade erscheint
(von der Seite gesehen) ist nützlicher:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Do 26.11.2009 | | Autor: | schumann |
...das muss ichmir jetzt erst nochmals zu Gemüte führen.
Vielen Dank für Dein Engagement, Al-Chwarizmi!!
Ich melde mich dann ggf morgen nochmal, wenn ich noch Fragen habe!
Schönen Abend!
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