Heron-Algorithmus < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 18.09.2012 | | Autor: | jahlleh |
[mm]/Wurzel{13}.Wie berechne ich sie mit dem Heron Algorithmus?Mir ist nicht klar, wie ich beginne(Anfangswert),wie der Mittelwert entsteht und die Darstellung im Lambach-Schweizer9,S.13,verwirrt mich noch mehr.Um eine möglichst einfache Erklärung bitte ich (ob meiner Sperrigkeit.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo jahlleh,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]/Wurzel{13}.Wie berechne ich sie mit dem Heron Algorithmus?Mir ist nicht klar, wie ich beginne(Anfangswert),wie der Mittelwert entsteht und die Darstellung im Lambach-Schweizer9,S.13,verwirrt mich noch mehr.Um eine möglichst einfache Erklärung bitte ich (ob meiner Sperrigkeit.
Der Anfangswert ergibt sich zu: [mm]\bruch{13+1}{2}=7[/mm]
Mehr dazu und ein Beispiel: ![[]](/images/popup.gif) Heron-Verfahren.
>Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Das Heron-Verfahren lässt sich so erklären:
Du suchst z.B. [mm] \wurzel{5}, [/mm] also eine Zahl x, die mit sich selber malgenommen 5 gibt, also eine Zahl mit x*x=5. Du kennst sie aber nicht. Ersatzweise suchst du eine Zahl a, die "in der Nähe" (s.u.) der gesuchten Zahl ist, z.B. a=2.
Diese Zahl ist aber falsch, und zwar zu klein. Sie hat aber einen Partner b, mit dem sie zusammen als Produkt 5 gibt, und der heißt 5/2, denn 2*5/2 = 5.
Wenn aber a*b das selbe ergibt wie x*x, nämlich 5, und wenn a<x ist, dann muss automatisch b>x sein. Es gilt grundsätzlich:
i
Ist a*b=x*x und sind a und b verschieden, so muss einer der Werte von a und b größer als x und der andere kleiner als x sein.
Also liegt das gesuchte x irgendwo zwischen diesen beiden Zahlen a und b. Deshalb nimmst du nun als verbesserten Schätzwert den Mittelwert von a und b:
[mm] a_{besser}=(a+b)/2 [/mm] = (a+5/a)/2 = [mm] (a^2+5)/(2a)
[/mm]
Das ist schon die ganze Idee. Das b versteckt sich also in 5/a.
Mit dem verbesserten a machst du nun wieder das selbe: Partner b suchen, Mittelwert bilden, also besseres a nehmen usw.
Der Startwert spielt keine große Rolle, du kannst z.B. immer 1 nehmen:
1*5 =5 Mittelwert=(1+5)/2=3
3*5/3=5 Mittelwert=(3+5/3)/2=(14/3)/2=7/3
7/3*15/7=5 Mittelwert=(7/3+15/7)/2=(49/21+45/21)/2=47/21 (nach 3 Schritten schon ganz nah dran!)
usw.
30 Schritte reichen auf jeden Fall, meistens ist man schon nach 5 Schritten fertig, weil sich dann im Taschenrechner der Wert nicht mehr ändert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Fr 21.09.2012 | | Autor: | jahlleh |
Eine wunderbare,anschauliche Erklärung.Tausend Dank;eigentlich ganz einfach.lieben Gruß,anja
|
|
|
|
