Hermitsches Interpolationspoly < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Biggles |
| Aufgabe | Zur näherungsweisen Berechnung des Integral II = [mm] \int^1_{-1} [/mm] f(x) dx ersetze man die hinreichend oft stetig differenzierbare Funktionf durch ein Hermitsches Interpolationspolynom, welches an den Stellen [mm] x_0 [/mm] =-a und [mm] x_1 [/mm] = a die Funktionswerte von f und f' verwendet.
a) Wähle a=1
b)...
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Hallo.
In der Musterlösung, die für die Katz ist, steht
Es ist I = [mm] f_0 [/mm] + [mm] f_1 [/mm] + [mm] \frac{3a^2-1}{6a}(f_0' [/mm] - [mm] f_1 [/mm] ')
Für a=1
I = [mm] f_0 [/mm] + [mm] f_1 [/mm] + [mm] \frac{1}{3}(f_0 [/mm] ' - [mm] f_1 [/mm] ')
Ich kann hier nur entnehmen, dass man vermutlich den Ansatz [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] gemacht hat.
Aber irgendwie verstehe ich es dann doch nicht, was genau gemacht worden ist.
Hat jemand hier eine passende Antwort parrat?
Grüße, Biggles
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> Zur näherungsweisen Berechnung des Integral II =
> [mm]\int^1_{-1}[/mm] f(x) dx ersetze man die hinreichend oft stetig
> differenzierbare Funktionf durch ein Hermitsches
> Interpolationspolynom, welches an den Stellen [mm]x_0[/mm] =-a und
> [mm]x_1[/mm] = a die Funktionswerte von f und f' verwendet.
> a) Wähle a=1
> b)...
>
>
> Hallo.
> In der Musterlösung, die für die Katz ist,
Hallo,
ich denke, ob die Musterlösung für die Katz ist, steht und fällt mit dem Verständnis der [mm] f_i, [/mm] und ich vermute, daß sich dahinter etwas verbirgt, was Ihr in der Vorlesung definiert habt.
Es dürfte wohl mit Hermite- Interpolation zu tun haben, ich vermute Hermite- Grundpolynome (falls die so heißen - das ist alles so lange her bei mir).
Fertige Formeln habe ich dafür im Moment nicht griffbereit und im Kopf sowieso schon gar nicht, aber ich vermute, daß die (bzw. der entsprechende Algorithmus) sich in deiner VL-Mitschrift bzw. im Skript befinden, und ich bin mir sicher, daß damit dann auch das Tun in dieser Aufgabe zu verstehen ist.
Worum es geht: Du sollst zwecks näherungsweiser Integration die Funktion f durch ein Polynom p ersetzen mit folgenden Eigenschaften:
p(1)=f(1)
p(-1)=f(-1)
p'(1)=f'(1)
p'(-1)=f'(-1)
Durch diese Angaben ist ein Polynom vom grad 3 eindeuig bestimmt, welches Du berechnen und leicht integrieren kannst.
Gruß v. Angela
> steht
>
> Es ist I = [mm]f_0[/mm] + [mm]f_1[/mm] + [mm]\frac{3a^2-1}{6a}(f_0'[/mm] - [mm]f_1[/mm] ')
> Für a=1
>
> I = [mm]f_0[/mm] + [mm]f_1[/mm] + [mm]\frac{1}{3}(f_0[/mm] ' - [mm]f_1[/mm] ')
>
> Ich kann hier nur entnehmen, dass man vermutlich den Ansatz
> [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] gemacht hat.
> Aber irgendwie verstehe ich es dann doch nicht, was genau
> gemacht worden ist.
>
> Hat jemand hier eine passende Antwort parrat?
>
> Grüße, Biggles
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mo 21.07.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Ich glaube nicht, dass du hier den Vandermondschen Ansatz wählen solltest. Besser wäre der Newtonansatz mit Vorgabe der Ableitungen. Ich weiß ja nicht, ob ihr das in der Vorlesung so hattet, aber du musst so die Koeffizienten des Newtonpolynoms bestimmen:
[mm] \pmat{-a & f_0 & & & \\
-a & f_0 & f_0' & & \\
a & f_1 & \bruch{f_1-f_0}{2a} & \bruch{f_1-f_0-2a*f_0'}{4a^2} & \\
a & f_1 & f_1' & \bruch{f_0-f_1+2a*f_1'}{4a^2} & \bruch{f_0-f_1+2a*(f_0'+f_1')}{8a^4} }
[/mm]
Damit hast du deine Koeffizienten. Was du nun noch tun musst ist die Basisfunktionen der Newton-Polynome zu integrieren.
Also das wären (x+a), [mm] (x+a)^2 [/mm] und [mm] (x+a)^2(x-a)
[/mm]
Dann alles zusammen setzen und vereinfachen.
Da sollte man drauf kommen.
Das ist meiner Meinung nach bequemer und eleganter als mit dem Ansatz [mm] ax^3+bx^2+cx+d.
[/mm]
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