Herm Matrix diagonalisieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen,
Es gilt doch: A ist diagonalisierbar [mm] \gdw \exists T^{-1} [/mm] mit [mm] T^{-1} [/mm] A T = Diag [mm] \gdw [/mm] A besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren (EV).
D.h. doch: Die Spalten von T sind meine EV, denn [mm] T^{-1} [/mm] A T = D [mm] \gdw [/mm] AT = TD [mm] \gdw [/mm] A [mm] t_{i} [/mm] = [mm] t_{i} \lambda_{i}
[/mm]
Wenn man nun ferner betrachtet, dass jede hermitesche Matrix A via unitärem U (HAT) auf Diagonalform gebracht werden kann, heisst das doch zusammen mit obigem "Postulat", dass jede hermitesche Matrix [mm] A_{n,n} [/mm] n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt und damit die Geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist?!
Grüße,
Willkommen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
HI,
stimmt alles ganz genau, mehr noch die EV können orthogonal gewählt werden, sogar zu einem gleichen EW mit höherer Vielfachheit.
Wenn noch mehr fragen zu dem Thema hast, dann frage mich.
bis dann
|
|
|
| |
|
OK, das heisst, bei hermitschen Matrizen sind EV zu verschiedenen EW ja sowieso senkrecht aufeinander, es lassen sich aber auch bei EW mit algebraischen Vielfachheit > 1 stets entsprechend viele senkrechte EV finden.
Noch eine Frage zu normalen Matrizen:
A ist ja normal, wenn gilt:
$ [mm] \overline{A}^t [/mm] A = A { [mm] \overline{A}^t} [/mm] $
Nun las ich, dass A aber auch genau dann [mm] (\gdw [/mm] (!)) normal ist, wenn sie sich mit unitärem U auf Diagform bringen lassen. Bisher wusste ich nur, dass gilt hermitsch [mm] \Rightarrow [/mm] normal.
Das würde doch aber bedeuten, dass nur hermitsche Matrizen normal sind, da es nur hier *unitäre* Us geben kann?!
Oder anders gefragt: Sind EV von normalen Matrizen immer orthogonal? (das wäre ich dann wieder so weit zu sagen, dass dies nur bei hermitschen zutrifft, s.o.)?!
Grüße,
Willkommen
|
|
|
| |
|
> Das würde doch aber bedeuten, dass nur hermitsche Matrizen
> normal sind,
Hallo,
nein, [mm] \pmat{ i & -1 \\ i & i } [/mm] ist normal, aber nicht hermitesch.
Es gilt
hermitesch ==> normal <==> unitär diagonalisierbar,
die Rückrichtung gilt ohne zusätzliche Voraussetzung nicht, siehe Beispiel oben.
Es gilt aber:
A ist unitär diagonalisierbar, und die Diagonalmatrix hat nur reellle Einträge
<==> A ist hermitesch.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
