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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 Di 25.10.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | $X$ topologischer Raum.
z.z.: X ist genau dann Hausdorffsch, wenn die Diagonale [mm] $Y:=\{(x,x)\;|\;x \in X\}$ [/mm] abgeschlossen in $X [mm] \times [/mm] X$ ist. |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem beim Beweis der Rückrichtung:
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Sei $(y,z) [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X, y [mm] \not= [/mm] x [mm] \Rightarrow$ [/mm] es gibt $U,V [mm] \subset [/mm] X$ offen, sodass $y [mm] \in [/mm] U, z [mm] \in [/mm] V, U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] U [mm] \times [/mm] V$ offen in $X [mm] \times [/mm] X$ und $(x,x) [mm] \not\in [/mm] U [mm] \times [/mm] V [mm] \;\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X$, denn angenommen $(x,x) [mm] \in [/mm] U [mm] \times [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] U, x [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V$, im Widerspruch zu obiger Aussage $U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Damit ist also $(X [mm] \times [/mm] X) [mm] \backslash [/mm] Y$ offen und somit $Y$ abgeschlossen.
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] Y abgeschlossen in $ X [mm] \times [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] (X [mm] \times [/mm] X) [mm] \backslash [/mm] Y$ offen in $X [mm] \times [/mm] X [mm] \Rightarrow$ [/mm] für $(x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X, x [mm] \not= [/mm] y$ gibt es $U [mm] \subset [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ offen mit $U [mm] \subset [/mm] (X [mm] \times [/mm] X) [mm] \backslash [/mm] Y$.
Nun muss dieses $U$ ja leider nicht der Form $V [mm] \times [/mm] W$ sein mit $V, W [mm] \subset [/mm] X$ offen. Wie kann ich nun dennoch meine disjunkten Umgebungen von $x$ und $y$ finden?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Di 25.10.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> [mm]X[/mm] topologischer Raum.
>
> z.z.: X ist genau dann Hausdorffsch, wenn die Diagonale
> [mm]Y:=\{(x,x)\;|\;x \in X\}[/mm] abgeschlossen in [mm]X \times X[/mm] ist.
> Hallo,
>
> ich habe ein kleines Problem beim Beweis der
> Rückrichtung:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]" Sei [mm](y,z) \in X \times X, y \not= x \Rightarrow[/mm]
> es gibt [mm]U,V \subset X[/mm] offen, sodass [mm]y \in U, z \in V, U \cap V = \emptyset \Rightarrow U \times V[/mm]
> offen in [mm]X \times X[/mm] und [mm](x,x) \not\in U \times V \;\forall x \in X[/mm],
> denn angenommen [mm](x,x) \in U \times V \Rightarrow x \in U, x \in V \Rightarrow x \in U \cap V[/mm],
> im Widerspruch zu obiger Aussage [mm]U \cap V = \emptyset[/mm].
>
> Damit ist also [mm](X \times X) \backslash Y[/mm] offen und somit [mm]Y[/mm]
> abgeschlossen.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]" Y abgeschlossen in [mm]X \times X \Rightarrow (X \times X) \backslash Y[/mm]
> offen in [mm]X \times X \Rightarrow[/mm] für [mm](x,y) \in X \times X, x \not= y[/mm]
> gibt es [mm]U \subset X \times X[/mm] offen mit [mm]U \subset (X \times X) \backslash Y[/mm].
>
> Nun muss dieses [mm]U[/mm] ja leider nicht der Form [mm]V \times W[/mm] sein
> mit [mm]V, W \subset X[/mm] offen. Wie kann ich nun dennoch meine
> disjunkten Umgebungen von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] finden?
Naja, wie kommt denn die Topologie in $X [mm] \times [/mm] X$ zustande? Anders gefragt: Liegt (x, y) nicht vielleicht doch in so einem $V [mm] \times [/mm] W$?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Do 27.10.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> > mit [mm]V, W \subset X[/mm] offen. Wie kann ich nun dennoch meine
> > disjunkten Umgebungen von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] finden?
>
> Naja, wie kommt denn die Topologie in [mm]X \times X[/mm] zustande?
> Anders gefragt: Liegt (x, y) nicht vielleicht doch in so
> einem [mm]V \times W[/mm]?
Kann ich es so begründen: Die Mengen der Form $V [mm] \times [/mm] W, V, W [mm] \subset [/mm] X$ offen, bilden eine Subbasis der Produkttopologie auf $X [mm] \times [/mm] X$. Damit kann ich $U$ als Vereinigung endlicher Schnitte solcher Mengen schreiben und finde so zwingend auch eine solche Mengen [mm] $V_1 \times W_1$ [/mm] mit $(x,y) [mm] \in V_1 \times W_1, V_1, W_1 \subset [/mm] X$ offen?
Aber warum ist nun der Schnitt [mm] $W_1 \cap V_1$ [/mm] leer? Das muss er doch noch nicht sein, da [mm] $V_1 \times W_1 \not\subset [/mm] U$ im Allgemeinen.
LG, Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Nabend,
>
> > > mit [mm]V, W \subset X[/mm] offen. Wie kann ich nun dennoch meine
> > > disjunkten Umgebungen von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] finden?
> >
> > Naja, wie kommt denn die Topologie in [mm]X \times X[/mm] zustande?
> > Anders gefragt: Liegt (x, y) nicht vielleicht doch in so
> > einem [mm]V \times W[/mm]?
>
> Kann ich es so begründen: Die Mengen der Form [mm]V \times W, V, W \subset X[/mm]
> offen, bilden eine Subbasis der Produkttopologie auf [mm]X \times X[/mm].
Diese Mengen bilden doch hier sogar eine Basis. Eine Subbasis wird von den Urbildern offener Mengen unter den Projektionsabbildungen gebildet. Die Urbilder haben die Form [mm] X\times U[/mm] bzw. [mm]U\times X[/mm], mit U offen. Die Schnitte sind dann die Mengen [mm] U\times V[/mm], mit U, V offen. Diese bilden eine Basis.
Du hast also zu jedem [mm]x\in X\times X[/mm] und einer offenen Menge [mm]U\subset X\times X[/mm] die x enthält eine offene Menge [mm]V\times W[/mm] mit [mm]V, W \subset X [/mm] offen und [mm]x\in V\times W \subset U[/mm].
> Damit kann ich [mm]U[/mm] als Vereinigung endlicher Schnitte solcher
> Mengen schreiben und finde so zwingend auch eine solche
> Mengen [mm]V_1 \times W_1[/mm] mit [mm](x,y) \in V_1 \times W_1, V_1, W_1 \subset X[/mm]
> offen?
> Aber warum ist nun der Schnitt [mm]W_1 \cap V_1[/mm] leer? Das muss
> er doch noch nicht sein, da [mm]V_1 \times W_1 \not\subset U[/mm] im
> Allgemeinen.
>
> LG, Lippel
>
Beste Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
danke für die Hilfe. Damit hab ichs jetzt hinbekommen.
LG, Lippel
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