Hauptvektoren Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Sa 26.05.2007 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | Gegeben seien der Endomorphismus in [mm] \IR^3 [/mm] durch ihre Matrixdarstellung (bzgl. der kanonischen Basis)
[mm] B=\pmat{ 4 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & -1 &6 }
[/mm]
Berechnen Sie zu dieser gegebenen Matrix die Hauptvektorbasis in [mm] \IR^3 [/mm] und geben Sie die Matrixdarstellung bzgl. der jeweiligen Hauptvektorbasis an. |
Hallo zusammen...
Ich habe folgendes Problem...
Also das charakteristische Polynom ist klar
[mm] p_B(x)=(x-4)^3
[/mm]
somit ist die algebraische Vielfachheit [mm] \mu(4)=3
[/mm]
[mm] (4I_3-B)=\pmat{ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -2 }
[/mm]
somit hat es die geometrische Vielfachheit [mm] \nu(4)=2
[/mm]
die Eigenvektoren wären [mm] x_1=\vektor{1 \\ 0 \\0 } [/mm] und [mm] x_2=\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
so, jetzt fehlt ja noch ein Vektor, um eine Basis zu bilden
dazu bilde ich [mm] (4I_3-B)^2 [/mm] , das ist aber [mm] 0_3 [/mm] ???
Wie soll ich weiter vorgehen, habe schon verschiedenst HV probiert, aber ich komme einfach nicht auf eine geeignete Basis S, mit der gilt:
[mm] S^{-1}*B*S=\pmat{ * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
wobei die linke 2*2 Blockmatrix eine Nilpotente Matrix sein müsste...
Danke für eure Hilfe und ein schönes Wochenende
wüscht Röby
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 So 27.05.2007 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo nochmal...
Also habe nochmal nachgedacht...
da 4 der einzige EW ist mit der alg. Vielfachheit 3, müsste dich [mm] V=\IR^3 [/mm] schreiben lassen als
[mm] \IR^3=H(4)=Kern((4I_3-B)^3)
[/mm]
da, aber [mm] (4I_3-B)^3=(4I_3-B)^2=0_3 [/mm] kann es ja keine festen HV geben, ich hätte ja die Wahl...
erstmal dürften diese keine EV zu 4 sein, d.h. [mm] (4I_3-B)*x\not=0
[/mm]
[mm] (4I_3-B)=\pmat{ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -2 }
[/mm]
also könnte man ja z.B. folgende Hauptvektoren nehmen
[mm] x_1=\vektor{-1\\1\\0} x_2=\vektor{0\\1\\-1} x_3=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
damit wäre [mm] S=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 }
[/mm]
somit [mm] S^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
aber [mm] S^{-1}*B*S=\pmat{ 5 & -3 & 2 \\ 3 & -5 & 6 \\ 4 & -12 & 12 } [/mm] also völliger Quatsch....
Könnt ihr mir da mal bitte meinen Denkfehler erläutern???
Vielen Dank und noch ein schönes Pfingsten...
Tschüß sagt Röby
|
|
|
| |
|
> Gegeben seien der Endomorphismus in [mm]\IR^3[/mm] durch ihre
> Matrixdarstellung (bzgl. der kanonischen Basis)
>
> [mm]B=\pmat{ 4 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & -1 &6 }[/mm]
>
> Berechnen Sie zu dieser gegebenen Matrix die
> Hauptvektorbasis in [mm]\IR^3[/mm] und geben Sie die
> Matrixdarstellung bzgl. der jeweiligen Hauptvektorbasis
> an.
> Hallo zusammen...
>
> Ich habe folgendes Problem...
>
> Also das charakteristische Polynom ist klar
>
> [mm]p_B(x)=(x-4)^3[/mm]
>
Dein charakteristisches polynom, ist glaube ich nicht korrekt. Rechne es nochmal nach..
Kornfeld
|
|
|
| |
|
> Dein charakteristisches polynom, ist glaube ich nicht
> korrekt. Rechne es nochmal nach..
Das charakteristische Polynom stimmt - bzw.: ich habe dasselbe ausgerechnet.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo, ich denke es ist alles korrekt. Die Tatsache, dass $(4id - [mm] B)^2=0$ [/mm] bedeutet ja, dass die Hauptraeume zum Eigenwert $4$ hoechstens die Dimension $2$ haben koennen (Es gibt ja bereits 2 Hauptraeume zu jeweils einer Dimension; $0$ ist uebrigens immer eine Loesung). Genauer gesprochen: [mm] $\dim(ker(4id-B))=2$, [/mm] also $rg(4id-B)=1$. Ausserdem sieht man, dass [mm] $Im(4id-B)\subset [/mm] ker(4id-B)$, was nichts anderes ist als [mm] $(4id-B)^2=0$. [/mm]
Fazit: Jeder Vektor [mm] $v_3$, [/mm] der zusammen mit den beiden Eigenvektoren eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bildet tut's
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 27.05.2007 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo Kornfeld.
Vielen Dank erstmal für deine Antwort, habe aber nochmal eine Frage dazu...
Also die 2 EV sind ja [mm] x_1=\vektor{1\\0\\o} [/mm] und [mm] x_2=\vektor{0\\2\\1}
[/mm]
jetzt wähle (???) ich einen beliebigen Vektor z.B. [mm] x_3=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
somit bilden alle 3 eine Basis
[mm] S=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
aber [mm] S^{-1}*B*S=S=\pmat{ 4 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
sieht ja nicht schlecht aus, aber die beiden 2en rechts stören doch oder???
obwohl, wenn ich die erhalten Matrix mit [mm] 4I_3 [/mm] subtrahiere, erhalte ich ja eine nilpotente Matrix, die quadriert [mm] 0_3 [/mm] ergibt.
Stimmt wohl doch???
Danke nochmal für deine (eure) Hilfe...
(Wäre schön, wenn du dir auch mal meinen anderen Beitrag https://www.vorhilfe.de/read?t=266647 anschauen könntest)
Schönen Sonntag wünscht Röby
|
|
|
| |
|
Ich nehme an, dass du $B$ in Jordansche Normalenform transformieren willst. Nun, als Basis waehlt man dann: [mm] $\{v_1,v_2\}$ [/mm] Basis von [mm] $\kern(4id [/mm] -B)$ und [mm] $v_3$ [/mm] so dass $(4id [mm] -B)v_3=v_1$ [/mm] oder $(4id [mm] -B)v_3=v_2$. [/mm] Bezueglich dieser Basis kommst du entweder auf eine Jordansche Matrix mit einer $1$ an der Stelle $(1,2)$ oder in $(2,3)$.
LG Kornfeld
|
|
|
|
