Hauptidealbereich, faktoriell < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mo 26.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Aus der Vorlesung ist bekannt, dass folgende Inklusion gilt:
[mm] $\{\text{Hauptidealbereiche}\}\subseteq \{\text{faktorielle Ringe}\}$
[/mm]
Zeigen Sie mit einem Beispiel, dass die Inklusion echt ist. |
Hi,
"echt" meint hier doch nur, dass ich einen faktoriellen Ring angeben soll, der kein Hauptidealbereich ist?
Wir sollen [mm] $\mathbb{Z}[T]$ [/mm] und das Ideal $(2,T)$ betrachten.
[mm] $\mathbb{Z}[T]$ [/mm] ist faktoriell, nach dem Satz von Gauß, da [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] faktoriell ist (also jede ganze Zahl (außer Null und die Einheiten 1, -1) hat eine Primfaktorzerlegung).
Nun muss ich nur noch zeigen, dass (2, T) nicht von einem Element erzeugt wird, also kein Hauptideal ist. Denn in einem Hauptidealbereich ist ja jedes Ideal ein Hauptideal.
(2,T) meint doch einfach das Ideal, was von der Form:
$2z+Tz ist für [mm] z\in\mathbb{Z}$ [/mm] richtig? Dann wäre dies doch automatisch kein Hauptidealbereich, da es von zwei Elementen erzeugt wird?
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Und [mm] $(2,3)\subseteq\IZ [/mm] $ ist kein Hauptideal, weil es von zwei Elementen erzeugt wird? So einfach ist es nun nicht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mo 26.01.2015 | | Autor: | YuSul |
$(2, T)=2z+Tz$ für [mm] $z\in\mathbb{Z}$
[/mm]
Damit dies ein Hauptidealbereich ist, muss es von einem Element erzeugt werden.
$(2,T)$ erzeugt also ein Polynom vom Grad 1 mit ganzzahligem Leitkoeffizienten addiert mit irgendeiner geraden Zahl.
Wäre dies nicht von (2+T) erzeugt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mo 26.01.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> [mm](2, T)=2z+Tz[/mm] für [mm]z\in\mathbb{Z}[/mm]
Das glaube ich eher nicht. Sollte nicht z. B. [mm] T^{2} \in [/mm] (2, T) sein?
> Damit dies ein Hauptidealbereich ist, muss es von einem
> Element erzeugt werden.
Das stimmt, also muß z. B. 2 + 3T ein Vielfaches des erzeugenden Elements sein.
Ein Ideal ist ein Modul über dem Ring, hier also über Z[T].
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 26.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Also wir haben aufgeschrieben:
Sei R ein kommutativer Ring, dann setzen wir
[mm] $(a_1, a_2, [/mm] ..., [mm] a_n)=a_1R+a_2R+...+a_nR$
[/mm]
Also hier dann eher $(2, [mm] T)=2\mathbb{Z}[T]+T\mathbb{Z}[T]$.
[/mm]
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Ok, das ist eine Definition, mit der man arbeiten kann. Ich schlage vor, dass du jetzt ein beliebiges Polynom [mm] $p\in(2,T)$ [/mm] nimmst und zeigst, dass dieses nicht als Erzeuger ausreicht, also die Inklusion [mm] $(p)\subset(2,T)$ [/mm] eine echte ist, und dass du dir überlegst, dass die Aufgabe damit gelöst ist. Um ein Gefühl zu bekommen, betrachte auch ein paar beispielhafte p's.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 26.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Wie sehen diese Elemente denn aus?
[mm] $2\mathbb{Z}[T]+T\mathbb{Z}[T]$
[/mm]
Also etwa so für das Polynom [mm] $T^2+1$
[/mm]
[mm] $2(T^2+1)+T(T^2+1)=2T^2+2+T^3+T=T^3+2T^2+T+2$
[/mm]
Nun betrachte ich ein beliebiges Polynom und dies darf nicht [mm] $\mathbb{Z}[T]$ [/mm] erzeugen, richtig? Also es muss immer irgendein Polynom geben, welches nicht darstellt werden kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:36 Di 27.01.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Wie sehen diese Elemente denn aus?
>
> [mm]2\mathbb{Z}[T]+T\mathbb{Z}[T][/mm]
>
> Also etwa so für das Polynom [mm]T^2+1[/mm]
>
> [mm]2(T^2+1)+T(T^2+1)=2T^2+2+T^3+T=T^3+2T^2+T+2[/mm]
Du müßtest 2 im allgemeinen verschiedene Polynome [mm] p_{1}(T) [/mm] und [mm] p_{2}(T) [/mm] nehmen und erhältst dann alle Polynome mit einem geraden konstanten Term als Element von (2, T). Also z. B. auch 2 + 3T.
>
> Nun betrachte ich ein beliebiges Polynom und dies darf
> nicht [mm]\mathbb{Z}[T][/mm] erzeugen, richtig? Also es muss immer
> irgendein Polynom geben, welches nicht darstellt werden
> kann.
Das stimmt so nicht. [mm]\mathbb{Z}[T][/mm] wird von 1 erzeugt, ist also ein Hauptideal. T ist ein Polynom, welches [mm]\mathbb{Z}[T][/mm] nicht erzeugt. Du willst (2, T) erzeugen oder eben zeigen, daß es nicht geht.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 27.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Wie sieht denn (2, T) aus?
[mm] $2\mathbb{Z}[T]+T\mathbb{Z}[T]$ [/mm] und nun jeweils beliebige Polynome aus [mm] $\mathbb{Z}[T]$
[/mm]
zum Beispiel $T²+1$ und $T³+T+1$, also etwa
$2T²+2+T⁴+T²+T=T⁴+3T²+T+2$
Und ich soll nun zeigen, dass es kein Element a gibt so, dass (a)=(2, T) gilt?
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Du würdest doch in diesem Fall $2 (T+1)+T(2T+1) [mm] =2T^2+3T+2$ [/mm] erhalten. Du kannst dir auf diese Weise genau die Polynome mit geradem konstanten Term zusammenbauen. Nun liegt entweder 2 oder T nicht im Erzeugnis eines solchen. Wieso nicht?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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