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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Myth |
| Aufgabe | | Eliminieren Sie durch Hauptachsentransformation das gemischte Produkt in der quadratischen Form [mm] 2x_{1}^2+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^2 [/mm] |
Hallo,
zuerst hab ich hier die symmetrische Matrix A aufgestellt, deren Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt, diese normiert und zu einer Orthonormalbasis zusammengesetzt:
[mm] (x_{1},x_{2}) \cdot \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } \cdot \pmat{ x_{1} \\ x_{2} } [/mm] = [mm] 2x_{1}^2+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^2
[/mm]
Eigenwerte zu A: [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] \lambda_{1}: \vec{v_{1}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] \lambda_{2}: \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 \\ 1 }
[/mm]
Da es Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind, sind sie bereits orthogonal zueinander, sodass ich sie nur noch normieren muss:
[mm] \vec{v}_{1,normiert} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \cdot \pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \vec{v}_{2,normiert} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \cdot \pmat{ -1 \\ 1 }
[/mm]
Dies jetzt zur ONB zusammengesetzt:
Q = [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
jetzt gilt: [mm] Q^{-1} \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] Q = diag(3,1)
Wie genau gehts jetzt weiter, um das gemischte Glied zu eliminieren? An dieser Stelle hörts bei uns im Skript leider auf...
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> Eliminieren Sie durch Hauptachsentransformation das
> gemischte Produkt in der quadratischen Form
> [mm]2x_{1}^2+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^2[/mm]
> Hallo,
>
> zuerst hab ich hier die symmetrische Matrix A aufgestellt,
> deren Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt, diese normiert
> und zu einer Orthonormalbasis zusammengesetzt:
>
> [mm](x_{1},x_{2}) \cdot \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } \cdot \pmat{ x_{1} \\ x_{2} }[/mm]
> = [mm]2x_{1}^2+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^2[/mm]
>
> Eigenwerte zu A: [mm]\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3[/mm]
>
> Eigenvektor zu [mm]\lambda_{1}: \vec{v_{1}}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> Eigenvektor zu [mm]\lambda_{2}: \vec{v_{2}}[/mm] = [mm]\pmat{ -1 \\ 1 }[/mm]
>
> Da es Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten sind,
> sind sie bereits orthogonal zueinander, sodass ich sie nur
> noch normieren muss:
>
> [mm]\vec{v}_{1,normiert}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \cdot \pmat{ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]\vec{v}_{2,normiert}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \cdot \pmat{ -1 \\ 1 }[/mm]
>
> Dies jetzt zur ONB zusammengesetzt:
>
> Q = [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }[/mm]
>
> jetzt gilt: [mm]Q^{-1} \cdot[/mm] A [mm]\cdot[/mm] Q = diag(3,1)
>
> Wie genau gehts jetzt weiter, um das gemischte Glied zu
> eliminieren? An dieser Stelle hörts bei uns im Skript
> leider auf...
>
Da brauchst Du nichts mehr zu eliminieren.
Das ist bereits durch Einsetzen von Q
in die quadratische Form geschehen.
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ja toll, ich bin fertig ohne es zu wissen :D
Danke!
Gruß Myth
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