Harmonische Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Di 06.07.2010 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | Finden sie alle Funktionen [mm] $f\in C^2(\IR^n,\IR)$, [/mm] die radialsymmetrisch sind (d.h. der Funktionswert hängt nur von der euklidischen Norm $|x|$ ab) und für die [mm] $\Delta [/mm] f=0$ gilt. |
Hallo Matheraum,
Ich habe gestern versucht diese, eigentlich sehr schöne Aufgabe zu rechnen und dachte eigentlich auch ich wär ganz gut klar gekommen, aber der Teufel steckt irgendwie im Detail. Deshalb würd ich mich sehr freuen wenn jemand mal nen kritischen Blick auf meine "Lösung" werfen könnte.
Also f radialsymmetrisch heißt wir können schreiben [mm] $f=h(|x|^2)$ [/mm] für eine gewisse Funktion [mm] $h:[0,\infty)\to\IR$. [/mm] Jetzt taucht schon mal das erste kleine Problem auf, ich würde jetzt gern annehmen, dass [mm] $h\in C^2([0,\infty))$ [/mm] ist - folgt das irgendwie oder gehen mir an der Stelle schon irgendwelche Lösungen durch die Lappen?
So was heißt nun [mm]\Delta f\equiv 0[/mm] in Bezug auf h? Naja, [mm] $\partial_k f(x)=h'(|x|^2)\cdot 2x_k$ [/mm] und [mm] $\partial_{kk}f(x)=4h''(|x|^2)\cdot x_k^2+2h'(|x|^2)$, [/mm] also ergibt sich [mm] $$\Delta f(x)=\sum_{k=1}^n\partial_{kk}f(x)=2n\cdot h'(|x|^2)+4h''(|x|^2)\cdot|x|=0\qquad(\forall x\in\IR^n).$$ [/mm] Das kann man auch schreiben als [mm]2nh'(s)+4h''(s)\cdot s=0[/mm] für alle [mm]s\ge 0[/mm], d.h. h' erfüllt auf [mm] (0,\infty) [/mm] die gewöhnliche DGL [mm] $$x'=-\frac{nx}{2t}\quad\text{mit }x(0)=0$$ [/mm] Mit Trennung der Variablen kommt man auf [mm] $h'(s)=s^{-n/2}$ [/mm] und nach Integration für [mm]s>0[/mm] auf [mm] $$h(s)=C+\begin{cases}\log s&\text{für }n=2\\\frac{2}{2-n}s^{(2-n)/2}&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm]
Jetzt ist schon mal das erste Problem, dass sich h für [mm]n\le 2[/mm] nicht stetig/diffbar in den Punkt 0 fortsetzen lässt. Zweites Problem: die damit korrespondierenden Funktion f (die uns ja eigentlich interessiert), lautet [mm] $$f(x)=C+\begin{cases}\log |x|^2&\text{für }n=2\\\frac{2}{2-n}|x|^{2-n}&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] und als ich gestern abend mal getestet habe, ob die Funktionen zumindest auf [mm] $\IR^n\setminus\{0\}$ [/mm] harmonisch sind (im Punkt 0 haben sie alle ein Problem...), kam da ziemlicher Murx raus. Drittes Problem: Man sieht sofort ein dass die gefragte Lösungsmenge einen reellen Vektorraum bildet, aber z.B. ist die Summe zweier solcher Funktionen f, wie wir sie gefunden haben, nicht von derselben Form, d.h. doch, dass uns da irgendwo was durch die Lappen gegangen ist oder? Ich hoffe ja ich hab mich da oben nur irgendwo leicht verrechnet.
Oder habe ich einfach alles richtig gemacht und die Antwort ist, dass die Lösungsmenge leer ist? 
Edit: Die Lösung der obigen DGL ist eigentlich [mm] $C_1\cdot t^{-n/2}$ [/mm] für beliebiges [mm] $C_1\in\IR$, [/mm] wenn man das noch mitschleift dann bleiben am Ende als Lösungsmenge nur die konstanten Funktionen.
In Hoffnung auf Erleuchtung,
Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo Robert,
das
$ [mm] x'=-\frac{nx}{2t}\quad\text{mit }x(0)=0 [/mm] $
löst Du mit Trennung der Var. Nun schau Dir mal ganz genau die Vor. für diese Vorgehensweise an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Veränderlichen
Dir sind Lösungen durch die Lappen gegangen ! Obiges AWP hat die Lösung x [mm] \equiv [/mm] 0. Damit ist h konstant.
Dass diese Lösungen
$ [mm] h(s)=C+\begin{cases}\log s&\text{für }n=2\\\frac{2}{2-n}s^{(2-n)/2}&\text{sonst}\end{cases} [/mm] $
nicht das ursprungsproblem lösen, hast Du ja schon festgestellt.
Somit bleiben nur die konstanten Funktionen
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 06.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo Robert,
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> das
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>
> [mm]x'=-\frac{nx}{2t}\quad\text{mit }x(0)=0[/mm]
>
> löst Du mit Trennung der Var. Nun schau Dir mal ganz genau
> die Vor. für diese Vorgehensweise an:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Veränderlichen
>
> Dir sind Lösungen durch die Lappen gegangen ! Obiges AWP
> hat die Lösung x [mm]\equiv[/mm] 0. Damit ist h konstant.
>
> Dass diese Lösungen
>
>
>
> [mm]h(s)=C+\begin{cases}\log s&\text{für }n=2\\\frac{2}{2-n}s^{(2-n)/2}&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> nicht das ursprungsproblem lösen, hast Du ja schon
> festgestellt.
>
> Somit bleiben nur die konstanten Funktionen
>
> Gruß FRED
Hm,
"von damals" (Physik) ist mir noch in Erinnerung:
[mm]\Delta f=0[/mm] geht durch [mm]f=h\circ |.|[/mm] in [mm]h'' + h'(n-1)/t=0[/mm] über mit den Lösungen [mm]v=c+b\ln[/mm] für [mm]n=2[/mm] bzw. [mm]v=c+b(.)^{n-2}[/mm] für [mm]n\ge3[/mm].
[mm]f[/mm] hat also die Form [mm]c+b\ln(|x|)[/mm] bzw. [mm]c+b|x|^{n-2}[/mm]
(Mit diesen Funktionen werden die Newtonpotentiale definiert, mit denen man die inhomogene Gleichung als Faltung des Newtonspotentials und der rechten Seite darstellen kann)
z.B. Probe für [mm]n=2[/mm]: [mm]\summe_{i=1}^2 \partial_i \partial_i f=b\summe_{i=1}^2 \partial_i(x_i/|x|^2)=\summe_{i=1}^2 \frac{|x|^2-2x_i ^2}{|x|^4}=(n-2)/|x|^2=0[/mm]
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Robert,
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> > das
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> >
> > [mm]x'=-\frac{nx}{2t}\quad\text{mit }x(0)=0[/mm]
> >
> > löst Du mit Trennung der Var. Nun schau Dir mal ganz genau
> > die Vor. für diese Vorgehensweise an:
> >
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Veränderlichen
> >
> > Dir sind Lösungen durch die Lappen gegangen ! Obiges AWP
> > hat die Lösung x [mm]\equiv[/mm] 0. Damit ist h konstant.
> >
> > Dass diese Lösungen
> >
> >
> >
> > [mm]h(s)=C+\begin{cases}\log s&\text{für }n=2\\\frac{2}{2-n}s^{(2-n)/2}&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> >
> > nicht das ursprungsproblem lösen, hast Du ja schon
> > festgestellt.
> >
> > Somit bleiben nur die konstanten Funktionen
> >
> > Gruß FRED
>
> Hm,
>
> "von damals" (Physik) ist mir noch in Erinnerung:
>
> [mm]\Delta f=0[/mm] geht durch [mm]f=h\circ |.|[/mm] in [mm]h'' + h'(n-1)/t=0[/mm]
> über mit den Lösungen [mm]v=c+b\ln[/mm] für [mm]n=2[/mm] bzw.
> [mm]v=c+b(.)^{n-2}[/mm] für [mm]n\ge3[/mm].
>
> [mm]f[/mm] hat also die Form [mm]c+b\ln(|x|)[/mm] bzw. [mm]c+b|x|^{n-2}[/mm]
Für diese Funktionen gilt aber nicht: $ [mm] f\in C^2(\IR^n,\IR) [/mm] $
FRED
>
> (Mit diesen Funktionen werden die Newtonpotentiale
> definiert, mit denen man die inhomogene Gleichung als
> Faltung des Newtonspotentials und der rechten Seite
> darstellen kann)
>
> z.B. Probe für [mm]n=2[/mm]: [mm]\summe_{i=1}^2 \partial_i \partial_i f=b\summe_{i=1}^2 \partial_i(x_i/|x|^2)=\summe_{i=1}^2 \frac{|x|^2-2x_i ^2}{|x|^4}=(n-2)/|x|^2=0[/mm]
>
> LG
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> gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Di 06.07.2010 | | Autor: | gfm |
> > > Hallo Robert,
> > >
> > > das
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> > >
> > >
> > > [mm]x'=-\frac{nx}{2t}\quad\text{mit }x(0)=0[/mm]
> > >
> > > löst Du mit Trennung der Var. Nun schau Dir mal ganz genau
> > > die Vor. für diese Vorgehensweise an:
> > >
> > > http://de.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Veränderlichen
> > >
> > > Dir sind Lösungen durch die Lappen gegangen ! Obiges AWP
> > > hat die Lösung x [mm]\equiv[/mm] 0. Damit ist h konstant.
> > >
> > > Dass diese Lösungen
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]h(s)=C+\begin{cases}\log s&\text{für }n=2\\\frac{2}{2-n}s^{(2-n)/2}&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
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> > >
> > > nicht das ursprungsproblem lösen, hast Du ja schon
> > > festgestellt.
> > >
> > > Somit bleiben nur die konstanten Funktionen
> > >
> > > Gruß FRED
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> > Hm,
> >
> > "von damals" (Physik) ist mir noch in Erinnerung:
> >
> > [mm]\Delta f=0[/mm] geht durch [mm]f=h\circ |.|[/mm] in [mm]h'' + h'(n-1)/t=0[/mm]
> > über mit den Lösungen [mm]v=c+b\ln[/mm] für [mm]n=2[/mm] bzw.
> > [mm]v=c+b(.)^{n-2}[/mm] für [mm]n\ge3[/mm].
> >
> > [mm]f[/mm] hat also die Form [mm]c+b\ln(|x|)[/mm] bzw. [mm]c+b|x|^{n-2}[/mm]
>
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> Für diese Funktionen gilt aber nicht: [mm]f\in C^2(\IR^n,\IR)[/mm]
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> FRED
Ja, das stimmt. :(
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Di 06.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Okay also wenn ich das jetzt richtig verstehe dann müsste ich meine Lösung wie folgt anpassen: Ich komme auf die DGL [mm] $x'(t)=-\frac{nx(t)}{2t}$ [/mm] für $t>0$. Offensichtlich erfüllt [mm] $x\equiv [/mm] 0$ die DGL, und gäbe es eine weitere Lösung [mm] $\tilde{x}$ [/mm] mit [mm] $\tilde{x}(t_0)=x_0\ne0$ [/mm] für ein [mm] $t_0>0$, [/mm] so könnte ich TdV anwenden und würde darauf kommen, dass [mm] $\tilde{x}$ [/mm] sich nicht diffbar in $0$ fortsetzen lässt. Also bleibt nur die triviale Lösung und die gibt schließlich $f=const.$.
Ist das so richtig?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay also wenn ich das jetzt richtig verstehe dann müsste
> ich meine Lösung wie folgt anpassen: Ich komme auf die DGL
> [mm]x'(t)=-\frac{nx(t)}{2t}[/mm] für [mm]t>0[/mm]. Offensichtlich erfüllt
> [mm]x\equiv 0[/mm] die DGL, und gäbe es eine weitere Lösung
> [mm]\tilde{x}[/mm] mit [mm]\tilde{x}(t_0)=x_0\ne0[/mm] für ein [mm]t_0>0[/mm], so
> könnte ich TdV anwenden und würde darauf kommen, dass
> [mm]\tilde{x}[/mm] sich nicht diffbar in [mm]0[/mm] fortsetzen lässt. Also
> bleibt nur die triviale Lösung und die gibt schließlich
> [mm]f=const.[/mm].
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> Ist das so richtig?
Ja
FRED
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> Gruß, Robert
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