Harmonie/Holomorphie bestimmen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben: [mm] u(x,y)=x^{2}-y^{2} [/mm] |
Hallo,
bei diesem Beispiel handelt es sich um ein Beispiel, das unser Prof. an die Tafel geschrieben hat. Er wollte überprüfen, ob der Realteil harmonisch ist.
Folgendes hat er geschrieben:
[mm] \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=v_{xy}-v_{xy}=0
[/mm]
Mir ist klar, was er hier gemacht hat. Er muss zeigen, dass [mm] \Delta [/mm] u=0 ist, sonst handelt es sich nicht um eine harmonische Funktion. Wichtig dabei ist aber, dass auch [mm] \Delta [/mm] v=0 sein muss.
[mm] \Delta [/mm] u=2-2=0
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ... holomorph
[mm] f'(z)=f_{z}=u_{x}+iv_{x}=u_{x}-iu_{y}
[/mm]
f'(z)=2x-i2y
Hier hat er f(z) abgeleitet, sodass man [mm] f_{z} [/mm] erhält. Mir ist aber unklar, wie er bei der Ableitung auf [mm] iv_{x} [/mm] gekommen ist. Warum hat er hier nur nach x abgeleitet? Er soll doch nach z ableiten, oder?
Setze y=0
Mir ist leider nicht klar, warum er hier y=0 setzt. Jedenfalls hat er dann noch folgendes beigefügt:
f'(x)=2x --> [mm] f(x)=x^{2}+C [/mm] --> [mm] f(z)=z^{2}+C
[/mm]
Wie ist er hier auf [mm] z^{2} [/mm] gekommen? Ist er nach wie vor davon ausgegangen, dass y=0 ist?
[mm] u(x,y)+iv(x,y)+C_{1}*i, C_{1}\in \Re
[/mm]
Mir ist klar, warum er [mm] C_{1} [/mm] beigefügt hat. Mir ist aber unklar, warum hier ausgerechnet [mm] C_{1}*i [/mm] steht. Wie kommt er auf [mm] C_{1}*i?
[/mm]
[mm] =x^{2}-y^{2}+2ixy+c=(x+iy)^{2}+c
[/mm]
Ich dachte, hier soll ic stehen?!?
Ich hoffe, jemand kann mir bei diesem Problem helfen.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben: [mm]u(x,y)=x^{2}-y^{2}[/mm]
> Hallo,
>
> bei diesem Beispiel handelt es sich um ein Beispiel, das
> unser Prof. an die Tafel geschrieben hat. Er wollte
> überprüfen, ob der Realteil harmonisch ist.
>
> Folgendes hat er geschrieben:
>
> [mm]\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=v_{xy}-v_{xy}=0[/mm]
> Mir ist klar, was
> er hier gemacht hat. Er muss zeigen, dass [mm]\Delta[/mm] u=0 ist,
> sonst handelt es sich nicht um eine harmonische Funktion.
> Wichtig dabei ist aber, dass auch [mm]\Delta[/mm] v=0 sein muss.
>
> [mm]\Delta[/mm] u=2-2=0
> f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ... holomorph
> [mm]f'(z)=f_{z}=u_{x}+iv_{x}=u_{x}-iu_{y}[/mm]
> f'(z)=2x-i2y
> Hier hat er f(z) abgeleitet, sodass man [mm]f_{z}[/mm] erhält. Mir
> ist aber unklar, wie er bei der Ableitung auf [mm]iv_{x}[/mm]
> gekommen ist. Warum hat er hier nur nach x abgeleitet? Er
> soll doch nach z ableiten, oder?
Wegen: [mm]\bruch{d}{dx}f(x+iy) = f'(x+iy)\cdot \bruch{d}{dx}(x+iy) = f'(x+iy)[/mm].
Also ist [mm]f'(z) = u_x+i v_x[/mm] und dann hat er die C-R-DGL eingesetzt.
> Setze y=0
> Mir ist leider nicht klar, warum er hier y=0 setzt.
Damit er einfacher weiterrechnen kann.
> Jedenfalls hat er dann noch folgendes beigefügt:
>
> f'(x)=2x --> [mm]f(x)=x^{2}+C[/mm] --> [mm]f(z)=z^{2}+C[/mm]
> Wie ist er hier auf [mm]z^{2}[/mm] gekommen? Ist er nach wie vor
Hmmm, vielleicht wegen der Stetigkeit von f?
> davon ausgegangen, dass y=0 ist?
>
> [mm]u(x,y)+iv(x,y)+C_{1}*i, C_{1}\in \Re[/mm]
> Mir ist klar, warum
> er [mm]C_{1}[/mm] beigefügt hat. Mir ist aber unklar, warum hier
> ausgerechnet [mm]C_{1}*i[/mm] steht. Wie kommt er auf [mm]C_{1}\cdot i?[/mm]
Weil der Realteil von f vorgegeben ist. Die Konstante C muss daher rein imaginär sein, dann hat er [mm]C=C_1\cdot i[/mm] mit einer reellen Konstanten [mm]C_1[/mm] geschrieben.
>
> [mm]=x^{2}-y^{2}+2ixy+c=(x+iy)^{2}+c[/mm]
> Ich dachte, hier soll ic stehen?!?
Ja, jetzt ist er wieder zur Konstanten C zurückgegangen. Die muss nach wie vor imaginär sein.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Braunstein |
Danke für die Antwort.
Gruß, h.
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