Halbwertszeit Teil 2 < Chemie < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Sa 18.10.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | A und B seien zwei radioaktive Elemente mit Halbwerteszeiten tA = 100s und tB = 180s.
Das Element A zerfällt zu B. (A->B). Zu Beginn sei N0A = [mm] 10^6 [/mm] und N0B = 0. Wie viele Teilchen von B sind nach 15 min vorhanden? |
Hallo,
ich habe folgendes berechnet (scheint mir aber irgendwie kompliziert):
.................B........A......
1.nach 100s =>500 000 | 500 000
2.nach 180s =>250 000 |
3.nach 200s =>500 000 | 250 000
...
18.nach 900s=>35156 | 1953
Kann man das auch irgendwie schneller berechnen und ist das so überhaupt richtig?
Viele Grüße und danke schon mal,
Nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 So 19.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nina,
Deine Vorgehensweise ist zwar naheliegend, sie ist aber dummerweise nicht richtig. Du gehst davon aus, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt, nämlich nach Ablauf der Halbwertszeit, auf einen Schlag nur noch die Hälfte der Teilchen vorhanden ist. Das entspricht aber nicht der Physik, auch zu anderen Zeitpunkten zerfallen bereits Teilchen und somit kommt man auf eine Exponentialgleichung, die Dir angibt, wieviele Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt noch existieren.
Gucken wir uns erstmal den Zerfall der A-Elemente an. Aufgrund der Exponentialfunktion existieren zu einem bestimmten Zeitpunkt t hiervon
$$ [mm] N_A(t) [/mm] = [mm] N0_A [/mm] * [mm] e^{(-\gamma_A t)} [/mm] $$ Teilchen. Der Zusammenhang zwischen der hier noch unbekannten Größe Gamma und der Halbwertszeit ist durch
$$ [mm] \gamma_A [/mm] = [mm] \bruch{\ln 2}{tA} [/mm] $$ gegeben.
Damit kannst Du nun ausrechnen, wieviele Teilchen des Elementes A zum Zeitpunkt t noch existieren. Die Differenz zu Deiner ursprünglichen Teilchenanzahl ist demnach die Anzahl der Teilchen, die zum Element B umgewandelt wurden.
$$ [mm] N_B(t) [/mm] = [mm] N0_A [/mm] - [mm] N_A(t) [/mm] = [mm] N0_A \cdot [/mm] ( 1 - [mm] e^{(- \gamma_A t)}) \, [/mm] .$$
Das Element B ist jedoch nicht das Endprodukt des Zerfalls, ein Teil dieser Teilchen zerfällt mit einer anderen Halbwertszeit tB in ein weiteres Element. In der gleichen Art und Weise wie beim Zerfall der A-Elemente kannst Du also ausrechnen, wieviele B-Elemente noch da sind. Das ist die Anzahl [mm] N_B(t) [/mm] minus die Anzahl der in das neue Element umgewandelten Teilchen:
$$ [mm] N_{B-Rest}(t) [/mm] = [mm] N_B(t)\cdot [/mm] (1 - [mm] e^{(-\gamma_B t)}) \, [/mm] , $$ wobei Du die neue Größe [mm] \gamma_B [/mm] auf die gleiche Weise ausrechnest wie oben die Größe [mm] \gamma_A [/mm].
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 19.10.2008 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
also das mit den Formeln ist mir schon klarer.
Am Ende müsste dann N0B= 998047 sein und NB= 31250.
Aber das Problem was ich jetzt habe ist noch zu verstehen, wie das mit den N0B sein kann.
Denn am Anfang von t=0 existieren ja N0B=0 und nicht N0B= 998047?
Viele Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 19.10.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nina,
die Anfangsbedingung für die B-Teilchen steht nicht im Widerspruch zur Lösung, die B-Teilchen existieren erst durch den Zerfall der A-Teilchen. Da die Halbwertszeit der A-Teilchen kleiner ist als die der B-Teilchen. Wenn Du meine vorletzte Gleichung in die letzte einsetzt, siehst Du, dass das ganze nur von N0A abhängt, denn es existieren zum Zeitpunkt t=0 noch keine B-Teilchen.
Viele Grüße,
Infinit
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