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| Aufgabe | die 3 Grundaxiome seien erfüllt und das Axiom von Pasch.
[mm] A,B\in \IE [/mm] mit [mm] A\not=B [/mm] und [mm] C\in \IE [/mm] mit [mm] C\not\in \overline{AB}.
[/mm]
Alle Punkte der Halbgeraden [mm] [AC\{a} [/mm] liegen auf der selben Seite wie [mm] \overline{AB}.
[/mm]
Dies soll gezeigt werden. |
Okay, wenn ich die Halbebene [AC betrachte gibt es folgende Fälle:
[mm] h^+_{A,\overline{AC}} [/mm] wenn A<C und
[mm] h^-_{A,\overline{AC}} [/mm] wenn A>C
Da das eigentlich sehr logisch ist weiß ich nicht genau wie man das beweisen kann mit den 4 Axiomen. Ich könnte annehmen, dass es einen weiteren Punkt P gibt der ebenfalls auf [AC] liegt.
Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben wie ich das beweisen kann? Brauche mal einen kleinen Hinweis, das ist mir grad alles zu logisch um auf eine Beweisidee zu kommen,
MfG
Mathegirl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | Zwei versch. Punkte A u. B Element einer Ebene sind gegeben. Ferner sei C Element dieser Ebene mit den eigenschaft C kein Element der Geraden AB. Es soll gezeigt werden, dass alle Punkte der Halbgeraden AC\ {A} auf derselben Seite von Geraden AB liegen. |
Hallo Leute. Ich versuche dazu eine Zeichnung anzufertigen und komme darüberhinaus mit der Aufgabenstellung nicht zurecht. Ich weiß nicht genau, was von mir verlangt ist.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Hybris,
wie schon öfter, so wäre es auch hier hilfreich, wenn du dazusagen würdest, mit welchen Axiomen hier gearbeitet werden soll.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Hybris |
Gerne doch :)
Axiom 1 bis 4, d.h.
Es gibt mindestens 3 Punkte, die nicht auf einer GEraden liegen. Durch je 2 versch. Punkte geht genau eine Gerade. Auf jeder Geraden g liegen mindestens 2 Punkte und auf jeder GEraden gilt die < Relation.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Hybris,
> Axiom 1 bis 4, d.h.
> Es gibt mindestens 3 Punkte, die nicht auf einer GEraden
> liegen. Durch je 2 versch. Punkte geht genau eine Gerade.
> Auf jeder Geraden g liegen mindestens 2 Punkte und auf
> jeder GEraden gilt die < Relation.
Wie lautet das Axiom 4 mit den <-Relationen genauer? Welche Eigenschaften soll diese Relation haben?
Wie habt ihr "Halbgerade" und "auf der gleichen Seite einer Geraden liegen" definiert?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Hybris |
Hallo tobit.
Definition der Halbgeraden:
g Element G und A Element G dann [mm] h^{+}= [/mm] P Element g: A<P [mm] \cup [/mm] {A} heißen pos. Halbgeraden
g Element G und A Element G dann [mm] h^{-}= [/mm] P Element g: A>P [mm] \cup [/mm] {A}
heißen neg. Halbgeraden.
Zum Axiom 4:
a) für alle A element g gilt A<A
b) seien A,B,C element g mit A<B und B<C so A<C (Transitivität)
C) A ungleich B gilt entweder A<B oder B<A
d) mit A<B dann gibt es C,D,E, € g mit C<A<D<B<E
Wenn es möglich wäre, konnte jemand in einfachen Sätzen die Definition der Halbgeraden erklären?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Definition der Halbgeraden:
> g Element G und A Element G dann [mm]h^{+}=[/mm] P Element g: A<P
> [mm]\cup[/mm] {A} heißen pos. Halbgeraden
>
> g Element G und A Element G dann [mm]h^{-}=[/mm] P Element g: A>P
> [mm]\cup[/mm] {A}
>
> heißen neg. Halbgeraden.
>
> Wenn es möglich wäre, konnte jemand in einfachen Sätzen
> die Definition der Halbgeraden erklären?
Was eine Halbgerade anschaulich sein soll, ist dir ja offensichtlich klar, wie ich deiner Skizze entnehme. Halbgeraden entsprechen wirklich fast "halben Geraden" im folgenden Sinne: Man erhält eine (und jede) Halbgerade, indem man eine Gerade g nimmt und jenseits eines Punktes A der Geraden g in einer Richtung alle Punkte entfernt. Die Halbgerade besteht also nicht aus allen Punkten P der Geraden g, sondern nur aus den Punkten P, die von A aus in einer bestimmten Richtung liegen (zuzüglich des Punktes A selber). Genau das drückt die Definition aus.
> Zum Axiom 4:
> a) für alle A element g gilt A<A
Bist du sicher, dass hier kein "nicht" fehlt?
> b) seien A,B,C element g mit A<B und B<C so A<C
> (Transitivität)
> C) A ungleich B gilt entweder A<B oder B<A
> d) mit A<B dann gibt es C,D,E, € g mit C<A<D<B<E
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Hallo,
die Axiome 2 und 4 (in deiner Nummerierung) liefern IMO das gewünschte sofort: alle Punkte zwischen A und C müssen auf einer (Halb-)Geraden liegen. Würden die Punkte dieser Halbgeraden auf unterschiedlichen Seiten der Strecke AB liegen, so gäbe es mindestens zwei Punkte, so dass deren Abstand zu AB gleich wäre. Dadurch wäre aber Axiom 4 verletzt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Hybris |
Okay, danke ich verstehe das aber nur Teilwese.
Wäre diese Skizze der Aufgabenstellung gleich? Ich würde gerne, um es besser verstehen zu können erst das ganze bildlich vor mir haben :)
Gruß
http://imageshack.us/photo/my-images/62/201204251921.jpg/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Okay, danke ich verstehe das aber nur Teilwese.
> Wäre diese Skizze der Aufgabenstellung gleich? Ich würde
> gerne, um es besser verstehen zu können erst das ganze
> bildlich vor mir haben :)
Das ist auch eigentlich immer sinnvoll. Ich konnte nicht alles rund um die Zeichnung richtig deuten, aber die Zeichnung selbst passt!
Um dir möglicherweise weiterhelfen zu können, müsste ich zunächst wissen, wie es für zwei Punkte definiert ist, auf der gleichen Seite von einer gegebenen Geraden g zu liegen.
Habt ihr zusätzliche Axiome, die du bisher noch nicht erwähnt hast, z.B. Halbebenen betreffend oder das Axiom von Pasch?
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