Häufungswerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Häufungswerte der Folgen:
[mm] a_{n}:= \wurzel{n}(\wurzel{5+n}-\wurzel{2+n})
[/mm]
[mm] b_{n}:= \bruch{2^{n}+(-3)^{n}}{(-2)^{n}+3^{n}}
[/mm]
[mm] c_{n}:= \wurzel[n]{n!} [/mm] |
Leider komme ich nicht weiter:
[mm] a_{n}:= \wurzel{n}(\wurzel{5+n}-\wurzel{2+n}) [/mm] = [mm] \wurzel{5n+n^2}-\wurzel{2n+n^2} [/mm] ...hier habe ich keine Idee
[mm] b_{n}:= \bruch{2^{n}+(-3)^{n}}{(-2)^{n}+3^{n}} [/mm] hier würde ich unterscheiden in:
n = gerade nun die Folge umschreiben in: [mm] b_{2n}:= \bruch{2^{2n}+(-3)^{2n}}{(-2)^{2n}+3^{2n}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{2n}+3^{2n}}{2^{2n}+3^{2n}} [/mm] = [mm] \bruch{5^{2n}}{5^{2n}} [/mm] = 1
n= ungerade nun die Folge umschreiben in [mm] b_{1n}:= \bruch{2^{1n}+(-3)^{1n}}{(-2)^{1n}+3^{1n}} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{1n}}{1^{1n}} [/mm] = (-1) [mm] \bruch{1^{1n}}{1^{1n}} [/mm] = -1
[mm] c_{n}:= \wurzel[n]{n!} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{1*2*3*4*5*...*n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{1}*\wurzel[n]{2}*\wurzel[n]{3}*...*\wurzel[n]{n} [/mm] hier habe ich leider keine Idee
Vielen Dank, Julia
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Erweitere den Term mit [mm] $\left( \ \wurzel{5+n} \ \red{+} \ \wurzel{2+n} \ \right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Wenn ich jetzt erweiter und die 3. binomische Formel anwende bekomme ich den Grenzwert der Folge, ich suche aber die Häufungswerte!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, ist dies ihr einziger Häufungspunkt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Okay...also gilt:
$ [mm] a_{n}:= \wurzel{n}(\wurzel{5+n}-\wurzel{2+n})=\wurzel{5n+n^2}-\wurzel{2n+n^2}=\bruch{(\wurzel{5n+n^2}-\wurzel{2n+n^2})(\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2})}{\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2}}=\bruch{n^2-n^2+5n-2n}{\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2}}=\bruch{3n}{\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2}} [/mm] $
wie kann ich hier weiter kommen`?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Klammere im Nenner nun $n \ = \ [mm] \wurzel{n^2}$ [/mm] aus und kürze dann.
Anschließend die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Julia_stud |
DANKE!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 16.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
habe ich dann [mm] \bruch{n}{\wurzel{7n}+1} [/mm]
das ganze strebt also gegen unendlich???
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Das kann nicht stimmen, wenn Du vor dem Ausklammern jeweils eine Summe unter den Wurzeln im Nenner hattest.
Was hast Du hier wie gerechnet?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 16.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe:
[mm] \bruch{3n}{\wurzel{5n}+n+\wurzel{2n}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{7n}+2n}=\bruch{n}{\wurzel{7n}+1}
[/mm]
ich mache wahrscheinlich wieder irgendwas verbotenes :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
> ich mache wahrscheinlich wieder irgendwas verbotenes
Oh ja ... es gilt im Allgemeinen:
[mm] $$\wurzel{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 16.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
okay da ich das nicht zusammenrechnen kann habe ich jetzt:
[mm] \bruch{3n}{\wurzel{5n}+n+\wurzel{2n}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{5n}+\wurzel{2n}+2n}=\bruch{n}{\wurzel{5n}+\wurzel{2n}+1}
[/mm]
stimmt das immer noch nicht???
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Sag mal, willst Du mich auf den Arm nehmen? Du machst doch gerade genau wieder denselben Fehler!!
Hier mal der erste Schritt zum Ausklammern (und nur Ausklammern, nix Zusammenfassen oder so):
[mm] $$\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n^2*\left(\bruch{5}{n}+1\right)}+\wurzel{n^2*\left(\bruch{2}{n}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n^2}*\wurzel{\bruch{5}{n}+1}+\wurzel{n^2}*\wurzel{\bruch{2}{n}+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n^2}*\left( \ \wurzel{\bruch{5}{n}+1}+\wurzel{\bruch{2}{n}+1} \ \right) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Die Idee mit der Fallunterscheidung in gerade und ungerade $n_$ ist sehr gut.
Jedoch fasst Du falsch zusammen, da:
[mm] $$a^k+b^k [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] (a+b)^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Du kannst hier z.B. die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel anwenden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
ich glaube nicht, dass sie die Stirling-Formel verwenden dürfen...
-------
An den Fragesteller: Wenn ihr schon Potenzreihen / Reihen hattet, kannst du überlegen, den Konvergenzradius welcher Reihe du damit berechnen würdest.
Wenn ihr sowas noch nicht hattet, solltet ihr in der Vorlesung irgendein Hilfsmittel in die Hand gelegt bekommen haben, die euch diese Aufgabe vereinfacht, z.B.:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\to [/mm] a [mm] \Rightarrow \sqrt[n]{a_{n}}\to [/mm] a$.
(Gilt auch für a = [mm] \infty)
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
