Häufungspunkte von Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt werden:
(a) [mm] $\IQ \cap [/mm] {]0,1[},$
(b) [mm] $\{(-1)^{n} | n \in \IN\},$
[/mm]
(c) [mm] $\IN.$
[/mm]
Beweisen Sie Ihre Antworten! |
Hallo,
diese Aufgabe bereitet mir leider starke Schwierigkeiten.
Ich verwende folgende Definition:
Ein Punkt [mm] $x_{0} \in \IR$ [/mm] heißt Häufungspunkt einer Teilmenge $M [mm] \subset \IR,$ [/mm] wenn jede [mm] $\varepsilon-$Umgebung [/mm] von [mm] $x_{0}$ [/mm] einen von [mm] $x_{0}$ [/mm] verschiedenen Punkt aus M enthält.
[mm] $x_{0}$ [/mm] ist Häufungspunkt von M [mm] $:\gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 : M [mm] \cap \{x;0<\left| x - x_{0} \right| < \varepsilon \} \not= \emptyset.$
[/mm]
Teilaufgabe (a):
Ich verstehe nicht ganz, was der Ausdruck genau meint. Muss ich mir das so vorstellen?
[mm] $\IQ:=\bruch{n}{m}$
[/mm]
[mm] $M:=\{\IQ \cap {]0,1[}\}$
[/mm]
[mm] $M:=\{\bruch{n}{m} \wedge n,m \in \IN\backslash\{0,1\}\}$
[/mm]
Vorausgesetzt ich habe überhaupt die richtige Definition gewählt, wie muss ich hier dann weiter vorgehen?
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Do 23.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt
> werden:
>
> (a) [mm]\IQ \cap {]0,1[},[/mm]
>
> (b) [mm]\{(-1)^{n} | n \in \IN\},[/mm]
>
> (c) [mm]\IN.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Antworten!
> Hallo,
>
> diese Aufgabe bereitet mir leider starke Schwierigkeiten.
>
> Ich verwende folgende Definition:
> Ein Punkt [mm]x_{0} \in \IR[/mm] heißt Häufungspunkt einer
> Teilmenge [mm]M \subset \IR,[/mm] wenn jede [mm]\varepsilon-[/mm]Umgebung von
> [mm]x_{0}[/mm] einen von [mm]x_{0}[/mm] verschiedenen Punkt aus M enthält.
>
> [mm]x_{0}[/mm] ist Häufungspunkt von M [mm]:\gdw \forall \varepsilon > 0 : M \cap \{x;0<\left| x - x_{0} \right| < \varepsilon \} \not= \emptyset.[/mm]
>
>
> Teilaufgabe (a):
> Ich verstehe nicht ganz, was der Ausdruck genau meint.
> Muss ich mir das so vorstellen?
>
> [mm]\IQ:=\bruch{n}{m}[/mm]
>
> [mm]M:=\{\IQ \cap {]0,1[}\}[/mm]
>
> [mm]M:=\{\bruch{n}{m} \wedge n,m \in \IN\backslash\{0,1\}\}[/mm]
Vergiss nicht n<m.
Es geht also um die rationalen Zahlen des Intervalls ]0;1[.
In JEDER [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] einer Zahl dieses Intervalls liegen unendlich viele Elemente von M.
Also sind alle Zahlen aus M UND auch alle irrationalen Zahlen des Intervalls und auch die Zahlen 0 und 1 Häufungspunkte!
>
> Vorausgesetzt ich habe überhaupt die richtige Definition
> gewählt, wie muss ich hier dann weiter vorgehen?
>
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt werden:
(a) [mm]\IQ \cap {]0,1[},[/mm]
(b) [mm]\{(-1)^{n} | n \in \IN\},[/mm]
(c) [mm]\IN.[/mm]
Beweisen Sie Ihre Antworten! |
Hallo abakus,
Teilaufgabe (a):
> > [mm]\IQ:=\bruch{n}{m}[/mm]
> >
> > [mm]M:=\{\IQ \cap {]0,1[}\}[/mm]
> >
> > [mm]M:=\{\bruch{n}{m} \wedge n,m \in \IN\backslash\{0,1\}\}[/mm]
>
> Vergiss nicht n<m.
irgendwie habe ich jetzt total die Zweifel bekommen. Der Grund sind diese beiden Definitionen:
In einer Definition heißt es [mm] $\IQ=\{\bruch{a}{b} | a \in \IZ, b \in \IN \}.$
[/mm]
In einer anderen Definition heißt es:
Eine rationale Zahl der Form [mm] $\bruch{a}{b}$ [/mm] mit $a [mm] \in \IN_{0}$ [/mm] und $b [mm] \in \IN$ [/mm] heißt Bruch oder Bruchzahl.
Ist für meine Teilaufgabe (a) jetzt die obige oder die untere Definition relevant?
Mich wundert es an der zweiten Definition, dass durch die Verwendung von natürlichen Zahlen ausgeschlossen wird, dass der Bruch negativ wird... Wozu?
> Es geht also um die rationalen Zahlen des Intervalls
> ]0;1[.
> In JEDER [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] einer Zahl dieses Intervalls
> liegen unendlich viele Elemente von M.
> Also sind alle Zahlen aus M UND auch alle irrationalen
> Zahlen des Intervalls und auch die Zahlen 0 und 1
> Häufungspunkte!
Wenn meine obigen Unsicherheiten beseitigt sind, sollte der Rest dieser Teilaufgabe kein Problem mehr sein.
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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Moin!
>
> In einer Definition heißt es [mm]\IQ=\{\bruch{a}{b} | a \in \IZ, b \in \IN \}.[/mm]
Der Nenner darf ebenfalls aus den ganzen Zahlen gewählt werden. Aber was macht das für einen unterschied?
>
> In einer anderen Definition heißt es:
> Eine rationale Zahl der Form [mm]\bruch{a}{b}[/mm] mit [mm]a \in \IN_{0}[/mm]
> und [mm]b \in \IN[/mm] heißt Bruch oder Bruchzahl.
>
Weiß nicht, was diese Definition überhaupt soll.
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Fr 24.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Moin!
>
>
> >
> > In einer Definition heißt es [mm]\IQ=\{\bruch{a}{b} | a \in \IZ, b \in \IN \}.[/mm]
>
> Der Nenner darf ebenfalls aus den ganzen Zahlen gewählt
> werden. Aber was macht das für einen unterschied?
>
> >
> > In einer anderen Definition heißt es:
> > Eine rationale Zahl der Form [mm]\bruch{a}{b}[/mm] mit [mm]a \in \IN_{0}[/mm]
> > und [mm]b \in \IN[/mm] heißt Bruch oder Bruchzahl.
Die Bruchzahlen sind nur eine Teilmenge der rationalen Zahlen. (Sie sind die nichtnegativen rationalen Zahlen.)
Laut Aufgabenstellung hast du es mit rationalen Zahlen (Q) zu tun. Da allerdings die Durchschnittsmenge mit dem Intervall ]0;1[ sowieso nicht im negativen Bereich liegt, ist es auch von vornherein möglich, sich auf die Menge der Bruchzahlen zu beschränken.
Gruß Abakus
> >
>
> Weiß nicht, was diese Definition überhaupt soll.
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
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| Aufgabe | Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt werden:
(a) $ [mm] \IQ \cap [/mm] {]0,1[}, $
(b) $ [mm] \{(-1)^{n} | n \in \IN\}, [/mm] $
(c) $ [mm] \IN. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Antworten! |
Hallo abakus,
> Die Bruchzahlen sind nur eine Teilmenge der rationalen
> Zahlen. (Sie sind die nichtnegativen rationalen Zahlen.)
was ich daran nicht verstehe ist, warum es dann negative Brüche gibt?
> Laut Aufgabenstellung hast du es mit rationalen Zahlen (Q)
> zu tun. Da allerdings die Durchschnittsmenge mit dem
> Intervall ]0;1[ sowieso nicht im negativen Bereich liegt,
> ist es auch von vornherein möglich, sich auf die Menge der
> Bruchzahlen zu beschränken.
Ich stehe leider noch auf dem Schlauch...
Mit ]0;1[ wird ja nicht festgelegt, ob man einen Zahlenstrahl mit nur positiven oder sowohl positiven wie auch negativen Zahlen meint...?
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
> Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Fr 24.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Mit
$ [mm] \IQ \cap [/mm] {]0,1[}, $
ist gemeint: alle rationalen Zahlen r mit 0<r<1
Eine solche Zahl lässt sich darstellen in der Form
r=m/n mit m,n [mm] \in \IN
[/mm]
und da r<1 ist, hat man m<n.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Fr 24.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Kompakte und kompetente Antworten selbst an Heiligabend - Danke, Fred! 
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 24.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Kompakte und kompetente Antworten selbst an Heiligabend -
> Danke, Fred!
Besten Dank, aber was glaubst Du ? Hat meine Kompetenz an Heiligabend Schaden genommen ? Oder vemutest Du , ich habe schon einen im Tee , zuviel Weihnachtspunsch ?
Wie auch immer, schöne Feiertage !
Gruß FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt
> werden:
>
> (a) [mm]\IQ \cap {]0,1[},[/mm]
>
> (b) [mm]\{(-1)^{n} | n \in \IN\},[/mm]
>
> (c) [mm]\IN.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Antworten!
> Hallo abakus,
>
> > Die Bruchzahlen sind nur eine Teilmenge der rationalen
> > Zahlen. (Sie sind die nichtnegativen rationalen Zahlen.)
>
> was ich daran nicht verstehe ist, warum es dann negative
> Brüche gibt?
warum sollte man sie nicht zulassen? Dann kannst Du ja auch fragen, warum es denn negative Zahlen und nicht nur [mm] $\IN$ [/mm] oder [mm] $\IN_0$ [/mm] gibt. Wichtig bei [mm] $\IQ$ [/mm] ist das aber auch, damit man in [mm] $(\IQ,+)$ [/mm] inverse Elemente hat (erinnere Dich mal an den Begriff der Gruppe). Hätte man diese nicht, wo würde man in [mm] $(\IQ,+,*)$ [/mm] auch nicht so wirklich schön rechnen können, denn das wäre dann kein Körper. (Wo man z.B. oft Probleme hat, eben weil es nicht notwendigerweise inverse Elemente gibt, ist ja bei Matrizen - und zwar bei der Matrizenmultiplikation. Selbst, wenn man da quadratische Matrizen hat, müssen diese kein Inverses haben!)
> > Laut Aufgabenstellung hast du es mit rationalen Zahlen (Q)
> > zu tun. Da allerdings die Durchschnittsmenge mit dem
> > Intervall ]0;1[ sowieso nicht im negativen Bereich liegt,
> > ist es auch von vornherein möglich, sich auf die Menge der
> > Bruchzahlen zu beschränken.
>
> Ich stehe leider noch auf dem Schlauch...
> Mit ]0;1[ wird ja nicht festgelegt, ob man einen
> Zahlenstrahl mit nur positiven oder sowohl positiven wie
> auch negativen Zahlen meint...?
Es geht doch dort um eine Schnittmenge:
[mm] $$\IQ \cap ]0,1[=\{x: x \in \IQ \text { und } 0 < x < 1\}\,.$$
[/mm]
D.h. ein Element [mm] $x\,$ [/mm] ist genau dann ein Element von [mm] $\IQ \cap ]0,1[\,,$ [/mm] wenn $x [mm] \in \IQ$ [/mm] gilt und zudem $0 < x < 1$ gilt. Ob man diesbezüglich nun die Ordnung [mm] $<\,$ [/mm] von [mm] $\IQ$ [/mm] oder die von [mm] $\IR$ [/mm] meint, ist egal. Das müsste man sich eigentlich auch überlegen, wenn es denn aus der Aufgabenstellung nicht hervorgeht oder nicht bekannt ist. Ich glaube aber, wenn man [mm] $\IR$ [/mm] mit den Dedekindschen Schnitten einführt, sieht man das auch sofort, dass sich das überträgt (oder vielleicht nicht sofort, aber man sieht es ).
So wüßtest Du oben z.B. dass $3/4 [mm] \in \IQ \cap ]0,1[\,,$ [/mm] weil $3/4 [mm] \in \IQ$ [/mm] und $0 < 3/4 < [mm] 1\,,$ [/mm] aber $1 [mm] \notin \IQ \cap ]0,1[\,,$ [/mm] denn es ist zwar $1 [mm] \in \IQ\,,$ [/mm] nicht aber $0 < 1 < [mm] 1\,.$
[/mm]
Du weißt auch [mm] $\sqrt{2} [/mm] /2 [mm] \notin \IQ \cap ]0,1[\,,$ [/mm] denn es gilt zwar $0 < [mm] \sqrt{2}/2 [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] nicht aber [mm] $\sqrt{2}/2 \in \IQ\,.$ [/mm] Auch wäre zwar $0 < [mm] \pi/3 [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] nicht aber [mm] $\pi/3 \in \IQ\,, [/mm] $weil [mm] $\pi \in \IR \setminus \IQ\,,$ [/mm] also [mm] $\pi/3 \notin \IQ \cap ]0,1[\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt
> > werden:
> >
> > (a) [mm]\IQ \cap {]0,1[},[/mm]
> >
> > (b) [mm]\{(-1)^{n} | n \in \IN\},[/mm]
> >
> > (c) [mm]\IN.[/mm]
> >
> > Beweisen Sie Ihre Antworten!
> > Hallo,
> >
> > diese Aufgabe bereitet mir leider starke Schwierigkeiten.
> >
> > Ich verwende folgende Definition:
> > Ein Punkt [mm]x_{0} \in \IR[/mm] heißt Häufungspunkt einer
> > Teilmenge [mm]M \subset \IR,[/mm] wenn jede [mm]\varepsilon-[/mm]Umgebung von
> > [mm]x_{0}[/mm] einen von [mm]x_{0}[/mm] verschiedenen Punkt aus M enthält.
> >
> > [mm]x_{0}[/mm] ist Häufungspunkt von M [mm]:\gdw \forall \varepsilon > 0 : M \cap \{x;0<\left| x - x_{0} \right| < \varepsilon \} \not= \emptyset.[/mm]
>
> >
> >
> > Teilaufgabe (a):
> > Ich verstehe nicht ganz, was der Ausdruck genau meint.
> > Muss ich mir das so vorstellen?
> >
> > [mm]\IQ:=\bruch{n}{m}[/mm]
> >
> > [mm]M:=\{\IQ \cap {]0,1[}\}[/mm]
> >
> > [mm]M:=\{\bruch{n}{m} \wedge n,m \in \IN\backslash\{0,1\}\}[/mm]
da steht übrigens Unsinn. Es gilt
[mm] $$\IQ=\left\{\frac{n}{m}: n \in \IZ, m \in \IN\right\}$$
[/mm]
und zwar (oben sei $0 [mm] \notin \IN$) [/mm] im Sinne von
[mm] $$\IQ=\left\{q \in \IR: \exists n \in \IZ \wedge \exists m \in \IN: q=\frac{n}{m}\right\}\,.$$
[/mm]
Wenn Du [mm] $P=\{\IQ\}$ [/mm] schreibst, so hast Du eine Menge [mm] $P\,,$ [/mm] bei der die Menge [mm] $\IQ$ [/mm] selbst ein Element ist: [mm] $\IQ \in P\,$ [/mm] bzw. [mm] $\left\{\frac{n}{m}: n \in \IZ, m \in \IN\right\} \in P\,.$
[/mm]
Worauf Du oben hinauswolltest, ist, dass man mit [mm] $M=\IQ \cap [/mm] ]0,1[$ auch schreiben kann:
[mm] $$M=\left\{\frac{n}{m}: n,m \in \IN \text{ und } n < m\right\}\,.$$
[/mm]
Denn jede reelle Zahl $n/m$ mit $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] und $n < [mm] m\,$ [/mm] gehört offenbar zu [mm] $M:=\IQ \cap ]0,1[\,,$ [/mm] und ist umgekehrt ein reelles [mm] $r\,$ [/mm] mit $r [mm] \in M\,,$ [/mm] so kann man wegen $r [mm] \in \IQ$ [/mm] dann $r=n/m$ mit einem $n [mm] \in \IZ$ [/mm] und $m [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben. Weil $r [mm] \in [/mm] ]0,1[$ ist $r > [mm] 0\,,$ [/mm] was dann $n [mm] \in \IN$ [/mm] erzwingt, und wäre $m [mm] \le n\,,$ [/mm] so folgte $n/m=r [mm] \ge [/mm] 1$ im Widerspruch zu $r [mm] \in ]0,1[\,.$ [/mm] Also muss $m > [mm] n\,$ [/mm] bzw. $n < [mm] m\,$ [/mm] gelten.
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt werden:
(a) $ [mm] \IQ \cap [/mm] {]0,1[}, $
(b) $ [mm] \{(-1)^{n} | n \in \IN\}, [/mm] $
(c) $ [mm] \IN. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Antworten! |
Hallo,
ich bitte um Korrektur der Teilaufgaben (b) und (c) (vor allem ob die Schreibweise so akzeptabel ist):
Teilaufgabe (b):
[mm] $(-1)^{n}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$ [/mm] also 1 und -1 Häufungspunkte.
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EDIT:
Ich habe nochmals über die (b) nachgedacht und würde mit einer ähnlichen Begründung wie bei der (c) sagen, dass meine obige Antwort falsch ist. Die angegebene Menge in (b) besitzt also keinen Häufungspunkt.
Feedback bzgl. Richtigkeit/Vollständigkeit ist natürlich noch weiterhin willkommen und ich bin dafür sehr dankbar.
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Teilaufgabe (c):
Es gilt [mm] $\IN \subset \IR.$
[/mm]
Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt keinen Häufungspunkt. Denn: dadurch, dass man nicht jeden Punkt des Gesamtraumes [mm] $\IR$ [/mm] beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge [mm] $\IN$ [/mm] approximieren kann, ist die Teilmenge [mm] $\IN$ [/mm] nicht dicht und besitzt somit keinen Häufungspunkt.
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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Hallo,
die Frage ist nachwievor aktuell und es wäre sehr nett, wenn sich jemand meine Lösung kurz ansehen könnte.
Vielen Dank & einen guten Start in das neue Jahr!
Sylvesterliche Grüße
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Fr 31.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
"Es gilt $ [mm] \IN \subset \IR. [/mm] $
Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt keinen Häufungspunkt. Denn: dadurch, dass man nicht jeden Punkt des Gesamtraumes $ [mm] \IR [/mm] $ beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge $ [mm] \IN [/mm] $ approximieren kann, ist die Teilmenge $ [mm] \IN [/mm] $ nicht dicht und besitzt somit keinen Häufungspunkt.
Das ist nicht falsch, aber es kommt darauf an, in welche menge du [mm] \IN [/mm] einbettest. in [mm] \IC [/mm] auf der gausschen zahlenkugel etwa wäre [mm] \infty [/mm] ein HP der natürlichen Zahlen. Wenn du nur [mm] \IN [/mm] ohne einbettung betrachtest, besteht es einfach nur a¨s isolierten einzelnen Elemanten.
HP von Mengen wie a) und HP von Folgen wie b) sind 2 verschiedene Dinge.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Fr 31.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
b) hat die 2 HP +1 und -1
denn in jeder Umgebung davon liegen unendlich viele folgenglieder.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Fr 31.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, leduart.
Wenn meine Antwort zur c) richtig ist, kann der Thread ruhig als "beantwortet" markiert werden.
Ein gutes neues Jahr 2011!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Di 04.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> b) hat die 2 HP +1 und -1
> denn in jeder Umgebung davon liegen unendlich viele
> folgenglieder.
> Gruss leduart
hallo leduart,
obiges stimmt nicht ! Gefragt war nach Häufungspunkteen von Mengen !
Endliche Mengen habe keine Häufungspunkte.
Gruß FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo
> > b) hat die 2 HP +1 und -1
> > denn in jeder Umgebung davon liegen unendlich viele
> > folgenglieder.
> > Gruss leduart
>
> hallo leduart,
>
> obiges stimmt nicht ! Gefragt war nach Häufungspunkteen
> von Mengen !
>
> Endliche Mengen habe keine Häufungspunkte.
da klinke ich mich doch glatt mit ein und möchte die Beweisidee dieser Aussage liefern (sofern wir uns in metrischen Räumen mit Metrik [mm] $d\,$ [/mm] befinden):
Für eine Menge $M [mm] \subseteq X\,$ [/mm] gilt nämlich, wenn $x [mm] \in [/mm] X$ HP von [mm] $M\,$ [/mm] ist (dabei muss NICHT $x [mm] \in [/mm] M$ gelten!): Zu [mm] $\epsilon_0=1$ [/mm] finden wir ein [mm] $m_0 \in [/mm] M$ in der offenen [mm] $\epsilon_0$-Umgebung [/mm] von [mm] $x\,,$ [/mm] welches von [mm] $x\,$ [/mm] verschieden ist.
Wir setzen nun (induktiv) [mm] $\epsilon_n:=d(x,m_{n-1})$ [/mm] ($n [mm] \ge [/mm] 1$) und wählen dann in den offenen [mm] $\epsilon_{n}$-Umgebungen [/mm] von [mm] $x\,$ [/mm] Elemente [mm] $m_n \in M\,.$ [/mm] Das war's dann auch schon, denn dann sind offenbar alle [mm] $m_n$ [/mm] paarweise untereinander und auch von [mm] $x\,$ [/mm] verschieden, es sind Elemente aus [mm] $M\,$ [/mm] und es sind unendlich viele.
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt werden:
(a) $ [mm] \IQ \cap [/mm] {]0,1[}, $
(b) $ [mm] \{(-1)^{n} | n \in \IN\}, [/mm] $
(c) $ [mm] \IN. [/mm] $
Beweisen Sie Ihre Antworten! |
Hallo Fred,
> > Hallo
> > b) hat die 2 HP +1 und -1
> > denn in jeder Umgebung davon liegen unendlich viele
> > folgenglieder.
> > Gruss leduart
>
> hallo leduart,
>
> obiges stimmt nicht ! Gefragt war nach Häufungspunkteen
> von Mengen !
>
> Endliche Mengen habe keine Häufungspunkte.
ich dachte es wäre mir klar, aber jetzt muss ich doch nachfragen.
Wenn es geheißen hätte "Geben Sie die Häufungspunkte der Folge [mm] $(-1)^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] an!", was wäre dann hier die Antwort?
Ich hätte geschrieben, dass es keine Häufungspunkte gibt, denn das Ergebnis kann nur entweder -1 (für n ungerade) oder +1 (für n gerade) sein. Stimmt das?
> Gruß FRED
Ich danke Dir vielmals!
Gruß
el_grecco
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Hi grecco,
> Es sollen die Häufungspunkte der folgenden Mengen bestimmt
> werden:
>
> (a) [mm]\IQ \cap {]0,1[},[/mm]
>
> (b) [mm]\{(-1)^{n} | n \in \IN\},[/mm]
>
> (c) [mm]\IN.[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Antworten!
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo
> > > b) hat die 2 HP +1 und -1
> > > denn in jeder Umgebung davon liegen unendlich viele
> > > folgenglieder.
> > > Gruss leduart
> >
> > hallo leduart,
> >
> > obiges stimmt nicht ! Gefragt war nach Häufungspunkteen
> > von Mengen !
> >
> > Endliche Mengen habe keine Häufungspunkte.
>
> ich dachte es wäre mir klar, aber jetzt muss ich doch
> nachfragen.
> Wenn es geheißen hätte "Geben Sie die Häufungspunkte
> der Folge [mm](-1)^{n}, n \in \IN[/mm] an!", was wäre dann hier die
> Antwort?
>
> Ich hätte geschrieben, dass es keine Häufungspunkte gibt,
> denn das Ergebnis kann nur entweder -1 (für n ungerade)
> oder +1 (für n gerade) sein. Stimmt das?
Nein. Schau dir die Definition von Häufungspunkten reeller Folgen an. (das ist nicht dasselbe wie Häufungspunkte von Mengen!)
Die Folge hat sehr wohl Häufungspunkte, aber keinen Grenzwert.
>
> > Gruß FRED
>
> Ich danke Dir vielmals!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
Danke für Deine Antwort.
Leider habe ich noch Schwierigkeiten, den Satz von Fred "Endliche Mengen habe keine Häufungspunkte." nachzuvollziehen.
Marcel hat zwar den Beweis geliefert, aber es wäre nett, wenn jemand in knappen einfachen Worten schreiben könnte, warum endliche Mengen keine Häufungspunkte besitzen...?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ChopSuey,
> Danke für Deine Antwort.
>
> Leider habe ich noch Schwierigkeiten, den Satz von Fred
> "Endliche Mengen habe keine Häufungspunkte."
> nachzuvollziehen.
>
> Marcel hat zwar den Beweis geliefert, aber es wäre nett,
> wenn jemand in knappen einfachen Worten schreiben könnte,
> warum endliche Mengen keine Häufungspunkte besitzen...?
Def.
Ist M eine Menge in [mm] \IR, [/mm] so heißt a [mm] \in \IR [/mm] ein Häufungspunkt (HP) von M, wenn jede Umgebung von a ein von a verschiedenes Element aus M enthält.
Sei M endlich, etwa M = { [mm] x_1, ..,x_n [/mm] }. Wir können [mm] x_1
Mach Dir mal ein Bild auf dem Zahlenstrahl !
Nun pick Dir mal das Element [mm] x_j [/mm] heraus und zeichne Dir eine Umgebung U von [mm] x_j [/mm] ein, die so klein ist, dass außer [mm] x_j [/mm] kein weiteres Element von M in U enthalten ist.
Dann siehst Du: [mm] x_j [/mm] ist kein HP von M.
Nun sei a [mm] \notin [/mm] M. Zeichne Dir solch einen Punkt in die Skizze ein. So, nun siehst Du, dass Du eine Umgebung V von a so klein wählen kannst, dass V kein Element von M enthält. Damit ist a kein HP von M.
Fazit: Punkte in M sind keine HPe von M und punkte in [mm] \IR [/mm] \ M sind auch keine HPe von M
FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Häufungspunkte der folgenden Mengen:
a) [mm] $\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| [/mm] x [mm] \in \IQ \bigg\rbrace$
[/mm]
b) [mm] $\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| [/mm] x [mm] \in \IN \bigg\rbrace$ [/mm] |
Vielen Dank für die exzellente Erklärung, Fred!
Ich habe als kleine Übung die obige Aufgabe gelöst:
a) [mm] $\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| [/mm] x [mm] \in \IQ \bigg\rbrace=\{ [0,1] \}$
[/mm]
b) [mm] $\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| [/mm] x [mm] \in \IN \bigg\rbrace=\{ [0,0.5] \}$
[/mm]
Es wäre sehr nett, wenn das jemand bei Gelegenheit korrigieren könnte.
Vielen Dank für den starken Support!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Häufungspunkte der folgenden Mengen:
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> a) [mm]\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| x \in \IQ \bigg\rbrace[/mm]
>
> b) [mm]\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| x \in \IN \bigg\rbrace[/mm]
>
> Vielen Dank für die exzellente Erklärung, Fred!
>
> Ich habe als kleine Übung die obige Aufgabe gelöst:
>
> a) [mm]\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| x \in \IQ \bigg\rbrace=\{ [0,1] \}[/mm]
Das stimmt, bis auf die Schreibweise. Schreibe [0,1] statt { [0,1] [mm] \}
[/mm]
>
> b) [mm]\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| x \in \IN \bigg\rbrace=\{ [0,0.5] \}[/mm]
Das stimmt nicht. Obige Menge hat nur eine Häufungspunkt: 0
FRED
>
>
> Es wäre sehr nett, wenn das jemand bei Gelegenheit
> korrigieren könnte.
>
> Vielen Dank für den starken Support!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Di 18.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
> > b) [mm]\bigg\lbrace \bruch{1}{1+x^{2}}\bigg| x \in \IN \bigg\rbrace=\{ [0,0.5] \}[/mm]
>
>
> Das stimmt nicht. Obige Menge hat nur eine Häufungspunkt:
> 0
Dummer Leichtsinnsfehler und das zu Zeiten eines ETR...
Vielen Dank für Deine Mühe, Fred!
> FRED
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo el_grecco,
> Hallo ChopSuey,
> Danke für Deine Antwort.
>
> Leider habe ich noch Schwierigkeiten, den Satz von Fred
> "Endliche Mengen habe keine Häufungspunkte."
> nachzuvollziehen.
>
> Marcel hat zwar den Beweis geliefert, aber es wäre nett,
> wenn jemand in knappen einfachen Worten schreiben könnte,
> warum endliche Mengen keine Häufungspunkte besitzen...?
ich mache es mal ein wenig einfacher: Betrachte eine endliche Menge (in einem metrischen Raum). Nehm' ich irgendeinen Punkt des Raumes her, so kann ich zu jedem Punkt der Menge den Abstand zwischen dem festen Raumpunkt und dem Punkt der Menge berechnen. Damit bekomme ich endlich viele Abstände dieses Punktes bzgl. der betrachteten endlichen Menge. Ich wähle aus dieser Menge von endlich vielen Abständen den kleinsten Abstand.
Jetzt gibt es 2 Fälle:
1.) Ist dieser Abstand $> [mm] 0\,,$ [/mm] so lege ich eine offene Kugel mit eben diesem Abstand als Radius um den betrachteten Raumpunkt, und kein Punkt der endlichen Menge liegt in dieser offenen Kugel, insbesondere auch nicht in dem Teil der offenen Kugel ohne Raumpunkt, welches ja gerade der Kugelmittelpunkt ist.
2.) Ist dieser Abstand [mm] $=0\,,$ [/mm] so betrachte ich einen Raumpunkt, der selbst schon in der endlichen Menge ist. Dann wiederum berechne ich jeweils den Abstand dieses Punktes zu allen anderen Punkten der endlichen Menge (wenn diese [mm] $n\,$ [/mm] paarweise verschiedene Elemente hat, bekomme ich also höchstens [mm] $n-1\,$ [/mm] Abstandswerte). Von diesen nehme ich nun den kleinsten Abstandswert, das Minimum (Minimum kann man sagen, weil wir ja nur endlich viele Abstandswerte hatten). Die Abstandswerte waren alle [mm] $>0\,,$ [/mm] also ist es auch das Minimum. Lege ich nun eine offene Kugel mit eben diesem Radius um den betrachteten Raumpunkt, so liegt in dieser als einziger Punkt der betrachteten Menge gerade der betrachtete Raumpunkt, welcher ja auch ein Punkt der endlichen Menge war. D.h. wenn ich die offene Kugel mit obigen Radius um dem Raumpunkt betrachte, so kann ich sagen, dass es in dem Teil der offenen Kugel, die den Raumpunkt respektive Mittelpunkt dieser Kugel nicht enthält, sicher keine Punkte aus der betrachteten endlichen Menge geben kann.
Nun sind aber Raumpunkte entweder Element einer Teilmenge des betrachteten Raumes, oder aber nicht. In beiden Fällen haben wir gesehen, dass ein betrachteter Raumpunkt kein HP der endlichen Menge sein kann. In allen Fällen kann daher ein Raumpunkt niemals HP der endlichen Menge sein. Also kann diese endliche Menge auch keine HPe enthalten.
Da man für jede endliche Teilmenge des Raumes so argumentieren kann, kann ein solcher niemals Häufungspunkte für endliche Mengen haben (jedenfalls, sofern es ein metrischer Raum ist).
P.S.:
Übrigens:
Auch die leere Menge hat keinen HP. Denn andernfalls gäbe es einen Punkt im Raum, so dass in jeder Umgebung dieses Punktes gilt: Wenn wir irgendeine offene Kugel um diesen Punkt legen und dann die offene Kugel ohne ihren Mittelpunkt betrachten, so finden wir in dieser Menge stets... Widerspruch!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Do 13.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred/Hallo Marcel,
vielen Dank für Euer starkes Engagement, obwohl der Thread ja schon als abgehakt galt. Ich hatte die Mathe-Hausaufgaben bereits in den Feiertagen erledigt und mir eine kleine Auszeit gegönnt - daher habe ich Eure Beiträge leider erst jetzt gesehen.
Mit den zusätzlichen Erklärungen sollte mir die Aufgabe jetzt klar sein.
Gruß
el_grecco
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