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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Di 13.11.2007 | | Autor: | grabo |
| Aufgabe | Gegeben sei x [mm] \in \IR, [/mm] sei [x] [mm] \in \IZ [/mm] die größte ganze Zahl, die nicht grösser als x ist. Dann sei (x) = x - [x]. Folglich gilt 0 [mm] \le [/mm] (x) < 1 für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Man schreibt auch (x) [mm] \in [/mm] [0, 1).
Sei nun a [mm] \in \IQ [/mm] irgendeine rationale Zahl. Wir betrachten die Folge
(a), (2a), (3a), ... (na), ...
Oder anders geschrieben, [mm] ((na))_{n\in\IN}
[/mm]
Zeigen Sie, daß diese Folge nur endlich viele Häufungspunkte besitzt. |
Als Häufungspunkt wird der Teil der Zahl nach dem Komma definiert. Die Zahl der Möglichkeiten dieser Zahlen soll für rationale Zahlen endlich sein, was zu zeigen ist.
Ich gehe davon aus, dass die Zahl der Häufungspunkte der Anzahl der Stellen nach dem Komma hoch 10 entspricht. Beim Addieren von a (was anderes wird in der Aufgabe ja nicht gemacht) rückt der Teil nach dem Komma zum nächsten Häufungspunkt weiter, bis er irgendwann (spätestens nach dem #^10 Nachkommastellen, wenn alle Möglichkeiten durchlaufen werden) den gleichen Wert annimmt.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Somit ist die Anzahl der Häufungspunkte endlich.
Aber wie soll ich das formal begründen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo grabo!
> Gegeben sei x [mm]\in \IR,[/mm] sei [x] [mm]\in \IZ[/mm] die größte ganze
> Zahl, die nicht grösser als x ist. Dann sei (x) = x - [x].
> Folglich gilt 0 [mm]\le[/mm] (x) < 1 für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Man
> schreibt auch (x) [mm]\in[/mm] [0, 1).
>
> Sei nun a [mm]\in \IQ[/mm] irgendeine rationale Zahl. Wir betrachten
> die Folge
>
> (a), (2a), (3a), ... (na), ...
>
> Oder anders geschrieben, [mm]((na))_{n\in\IN}[/mm]
>
> Zeigen Sie, daß diese Folge nur endlich viele
> Häufungspunkte besitzt.
> Als Häufungspunkt wird der Teil der Zahl nach dem Komma
> definiert. Die Zahl der Möglichkeiten dieser Zahlen soll
> für rationale Zahlen endlich sein, was zu zeigen ist.
>
> Ich gehe davon aus, dass die Zahl der Häufungspunkte der
> Anzahl der Stellen nach dem Komma hoch 10 entspricht. Beim
> Addieren von a (was anderes wird in der Aufgabe ja nicht
> gemacht) rückt der Teil nach dem Komma zum nächsten
> Häufungspunkt weiter, bis er irgendwann (spätestens nach
> dem #^10 Nachkommastellen, wenn alle Möglichkeiten
> durchlaufen werden) den gleichen Wert annimmt.
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Somit ist die Anzahl der Häufungspunkte endlich.
>
> Aber wie soll ich das formal begründen?
Setz die Voraussetzung [mm]a\in\IQ[/mm] ein, nimm also an, dass [mm]a=\bruch{p}{q}[/mm] mit [mm]p\in\IZ[/mm], [mm]q\in\IN[/mm] und p teilerfremd zu q.
Viele Grüße
Rainer
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