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| Aufgabe | Die Gleichung
[mm] $x^{2}+y^{2}-2x-z=0 [/mm] $
def niert eine Fläche zweiter Ordnung. Bestimmen Sie den Typ der Fläche, und skizzieren Sie die Fläche. |
Also diese Gleichung stellt ein elliptisches(kreisförmiges) Paraboloid, welches verschoben ist dar.
Mittels Substitution möchte ich die Gleichung auf die Form [mm] $x^{2}+y^{2}-2pz=0 [/mm] $ bringen.
Gesagt getan:
Neue Gleichung sieht so aus:
[mm] $z_1^{2}+z_2^{2}-z_3 [/mm] = 1$
Wie kann ich aus dieser Gleichung nun das Maß der Verschiebung herauslesen um es zu skizzieren?
Mit [mm] $z_1^{2}+z_2^{2}$ [/mm] kann ich ja die Radien der "aufeinandergestapelten" Kreise berechnen.
Also muss sich die Verschiebung im Term [mm] -z_3 [/mm] = 1 verbergen oder?
Lg
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Hallo,
> Also muss sich die Verschiebung im Term [mm]-z_3[/mm] = 1 verbergen
> oder?
Nein: betrachte doch einfach nochmal,was du genau getan hast. wo kommt insbesondere die 1 auf der rechten Seite her, und was hat dies mit dem Verschwinden der 2x zu tun? 
Gruß, Diophant
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Zuerst hab ich substituiert und dann auf ein vollständiges Quadrat ergänzt.
Mit:
[mm] z_i [/mm] = [mm] y_i [/mm] + [mm] \bruch{\gamma_i}{2\lambda_i}
[/mm]
bekomm ich für [mm] y_1 [/mm] = [mm] z_1+1.
[/mm]
Das in die Ausgangsgleichung eingesetzt, bringt mir eben die +1 und lässt das 2x verschwinden, da ja x = [mm] z_1+1 [/mm] ist.
Wenn ich davon ausgehe, dass [mm] z_1^{2} [/mm] + [mm] z_2^{2} [/mm] im Ursprung des Paraboloids 0 ist, da ja der Kreis im Ursprung ein Punkt ist, dann bleibt die Gleichung [mm] z_3 [/mm] = -1.
Das heißt doch, dass das Paraboloid um -1 in [mm] z_3 [/mm] Richtung verschoben ist oder?
Da ich aber ein Koordinatensystem mit x,y,z habe muss ich die Koordinaten noch rücksubstituieren oder?
Lg
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Hallo,
jetzt glaube ich, dein Problem verstanden zu haben. Nach z aufgelöst ergibt sich ja:
[m]z=x^2+y^2-1[/m]
und somit ist das (nach oben geöffnete) Paraboloid natürlich um 1 in z-Richtung nach unten verschoben. Das funktioniert ganz analog zum [mm] \IR^2 [/mm] !
Gruß, Diophant
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