HLDGL 1. Ordnung mit AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Sa 08.11.2008 | | Autor: | phnx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich versuche gerade die Herleitung der Lösung einer homogenen Differentialgleichung [mm]y'+g(x)=0[/mm] mit Anfangswertproblem ([mm]f(x_0)=y_0[/mm]) nachzuvollziehen und hänge bei dem letzten Schritt:
[mm]ln|y|-ln|y_0|=-G(x)+G(x_0) \gdw f(x)=y_0*e^{G(x_0)-G(x)}[/mm]
wieso kann ich hier die Beträge bei [mm]y_[/mm] und [mm]y_0[/mm] weglassen?
Danke im Voraus,
Benjamin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Stell die Aufgabe bitte mal so, wie Du sie gestellt bekommen hast. Irgendwie kann ich auf Anhieb nicht nachvollziehen, wo der Logarithmus wegkommt. Und daher weiß ich auch nicht von welchen Beträgen Du sprichst.
Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Sa 08.11.2008 | | Autor: | phnx |
Ich habe leider nur die Herleitung aus unserem Skript (keine Aufgabenstellung), ich schreibe die mal ab:
Vorausgehendes Kapitel:
Lösung für explizite DGL 1. Ordnung mit getrennten Variablen [mm]y'=g_1(x)*g_2(y)[/mm]
[mm]\bruch{f'(x)}{g_2(f(x))}=g_1(x)
\integral_{x_0}^{x}{\bruch{f'(x)}{g_2(f(x))} dt} = \integral_{x_0}^{x}{g_1(t) dt}[/mm]
Substitution [mm]u=f(t) \to du = f'(t)dt[/mm]
Abkürzung [mm]y_0 = f(x_0), y=f(x)[/mm]
[mm]\integral_{y_0}^{y}{\bruch{1}{g_2(u)} du} = \integral_{x_0}^{x}{g_1(t) dt}[/mm]
Zurück zu meinem Problem:
[mm]y'+g(x)y=0[/mm]
Umformung in DGL mit getrennten Variablen:
[mm]g_1(x)=-g(x)[/mm]
[mm]g_2(y)=y[/mm]
[mm]\Rightarrow \integral_{y_0}^{y}{\bruch{1}{u} du} = \integral_{x_0}^{x}{g(t) dt}[/mm]
[mm]\gdw \ln|y|-\ln|y_0|=-G(x)+G(x_0) [/mm] |e^(...)
[mm]\gdw \bruch{|y|}{|y_0|}=e^{-G(x)+G(x_0)}[/mm]
[mm]\gdw |y|=|y_0|*e^{-G(x)+G(x_0)}[/mm]
Ich hoffe das hat mein Problem ein wenig verständlicher gemacht.
Gruß,
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Sa 08.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Betrag steht doch da nur, weil du sonst fuer y,0 und y>0 2 Loesungen hinschreiben muesstest. Damit kannst du ihn weglassen, wenn du den ln weglaesst.
Du kannst auch das Ergebnis (ohne betrag ) in die Dgl einsetzen und siehst, dass sie erfuellt ist.
Gruss leduart
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