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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 07.09.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Wozu ist eine Gruppe der Ordnung m isomorph?
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Ich würde sagen zu [mm] \IZ/m\IZ [/mm] oder zu [mm] \IZ/p_1\IZ x...x\IZ/p_k\IZ [/mm] mit [mm] m=p_1*p_2*....*p_k [/mm] und [mm] p_i [/mm] Primzahlen.
Ich mach mal ein kurzes Beispiel wo mein Problem ist:
Kann eine Gruppe der Ordnung 30 isomaorph zu... sein:
[mm] \IZ/60\IZ [/mm]
[mm] \IZ/3\IZ \times\IZ/5\IZ \times\IZ/2^2\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/15\IZ \times\IZ/2^2\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/3\IZ \times\IZ/5\IZ \times\IZ/2\IZ \times\IZ/2\IZ
[/mm]
Ich glaube dass jede Gruppe der Ordnug 30 zu einer der ersten beiden Möglichkeiten isomorph ist, und die anderen beiden nicht gehen. Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mo 07.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wozu ist eine Gruppe der Ordnung m isomorph?
Ich vermute, du interessierst dich eher fuer abelsche Gruppen als fuer beliebige Gruppen?
> Ich würde sagen zu [mm]\IZ/m\IZ[/mm] oder zu [mm]\IZ/p_1\IZ x...x\IZ/p_k\IZ[/mm]
> mit [mm]m=p_1*p_2*....*p_k[/mm] und [mm]p_i[/mm] Primzahlen.
Im Allgemeinen gibt es noch mehr Moeglichkeiten. Schau doch mal ![[]](/images/popup.gif) hier unter Klassifikation.
> Ich mach mal ein kurzes Beispiel wo mein Problem ist:
>
> Kann eine Gruppe der Ordnung 30 isomaorph zu... sein:
Du meinst eher 60, oder? Die unten genannten Gruppen haben alle Ordnung 60.
(Die abelschen Gruppen der Ordnung 30 sind alle zyklisch.)
> [mm]\IZ/60\IZ[/mm]
> [mm]\IZ/3\IZ \times\IZ/5\IZ \times\IZ/2^2\IZ[/mm]
> [mm]\IZ/15\IZ \times\IZ/2^2\IZ[/mm]
> [mm]\IZ/3\IZ \times\IZ/5\IZ \times\IZ/2\IZ \times\IZ/2\IZ[/mm]
>
> Ich glaube dass jede Gruppe der Ordnug 30 zu einer der
> ersten beiden Möglichkeiten isomorph ist, und die anderen
> beiden nicht gehen. Stimmt das?
Die erste, zweite und dritte Moeglichkeit sind jeweils zueinander isomorph. (Kennst du vielleicht folgende Aussage: [mm] $\IZ/n\IZ \times \IZ/m\IZ \cong \IZ/nm\IZ$ [/mm] genau dann, wenn $n$ und $m$ teilerfremd sind. Dies ist eine Art Spezialfall vom chinesischen Restsatz fuer ganze Zahlen; dieser gibt dir noch explizit einen Isomorphismus an.)
Moeglichkeit Nummer 4 ist nicht isomorph zu den ersten dreien. (Die ist isomorph zu [mm] $\IZ/30\IZ \times \IZ/2\IZ$.)
[/mm]
Jede abelsche Gruppe der Ordnung 60 ist isomorph zu entweder den ersten dreien oder der vierten Moeglichkeit.
LG Felix
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