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| Aufgabe | Es sei [mm] (G,\*) [/mm] eine Gruppe und M eine Menge. Wir bezeichnen mit [mm] (Bij(M),\circ) [/mm] die Gruppe der bijektiven Abbildungen von M nach M. Sei nun [mm] \gamma [/mm] : G x M [mm] \to [/mm] M eine Gruppenwirkung von G auf der Menge M. In der Vorlesung haben Sie gesehen wie man für g [mm] \in [/mm] G mit Hilfe der Gruppenwirkung eine Abbildung [mm] \gamma_{g} \in [/mm] Bij(M) definiert. Wir erhalten also eine Abbildung [mm] \beta [/mm] : G [mm] \to [/mm] Bij(M), g [mm] \mapsto \gamma_{g} [/mm] .
a) Zeigen Sie, dass [mm] \beta [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist.
b) Zeigen Sie, dass es eine Bijektion zwischen den Gruppenwirkungen [mm] \gamma [/mm] : G x M [mm] \to [/mm] M und den Gruppenhomomorphismen [mm] \beta [/mm] : G [mm] \to [/mm] Bij(M) gibt. |
Hallo!
zu dem "in der Vorlesung haben Sie gesehen...": Ist das die Definition: Seien G, H Gruppen. [mm] \gamma: [/mm] G [mm] \to [/mm] H eine Abbildung. Nenne [mm] \gamma [/mm] einen Gruppenmorphismus wenn [mm] \forall g_{1} [/mm] , [mm] g_{2} \in [/mm] G gilt: [mm] \gamma(g_{1}) \circ \gamma(g_{2}) [/mm] = [mm] \gamma(g_{1} \* g_{2}) [/mm] ?
Ansonsten hätte ich keine Ahnung, was es sein soll!
Dann müsste ich für a) ja einfach nur diesen Definiton bei der genannten Situation überprüfen, oder?
aber was ist in diesem Fall [mm] \gamm(a) [/mm] mit a [mm] \in [/mm] G? Ich blick nicht mehr durch!
Ich wäre für Hilfe seeeeehr dankbar!
Grüßle
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> Es sei [mm](G,\*)[/mm] eine Gruppe und M eine Menge. Wir bezeichnen
> mit [mm](Bij(M),\circ)[/mm] die Gruppe der bijektiven Abbildungen
> von M nach M. Sei nun [mm]\gamma[/mm] : G x M [mm]\to[/mm] M eine
> Gruppenwirkung von G auf der Menge M. In der Vorlesung
> haben Sie gesehen wie man für g [mm]\in[/mm] G mit Hilfe der
> Gruppenwirkung eine Abbildung [mm]\gamma_{g} \in[/mm] Bij(M)
> definiert. Wir erhalten also eine Abbildung [mm]\beta[/mm] : G [mm]\to[/mm]
> Bij(M), g [mm]\mapsto \gamma_{g}[/mm] .
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\beta[/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist.
> b) Zeigen Sie, dass es eine Bijektion zwischen den
> Gruppenwirkungen [mm]\gamma[/mm] : G x M [mm]\to[/mm] M und den
> Gruppenhomomorphismen [mm]\beta[/mm] : G [mm]\to[/mm] Bij(M) gibt.
> Hallo!
> zu dem "in der Vorlesung haben Sie gesehen...": Ist das
> die Definition: Seien G, H Gruppen. [mm]\gamma:[/mm] G [mm]\to[/mm] H eine
> Abbildung. Nenne [mm]\gamma[/mm] einen Gruppenmorphismus wenn
> [mm]\forall g_{1}[/mm] , [mm]g_{2} \in[/mm] G gilt: [mm]\gamma(g_{1}) \circ \gamma(g_{2})[/mm]
> = [mm]\gamma(g_{1} \* g_{2})[/mm] ?
Hallo,
nein, Du hast gerade aufgeschrieben, was ein Homomorphismus ist.
> Ansonsten hätte ich keine Ahnung, was es sein soll!
Wie im Aufgabentext beschrieben ist [mm] \gamma [/mm] eine Abbildung aus der Menge [mm] G\times [/mm] M in die Menge M.
Hat solch eine Abbildung [mm] \gamma [/mm] die beiden Eigenschaften
i) [mm] \gamma(1_G,x)=x [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] M
ii) [mm] \gamma( g_1*g_2, [/mm] x)= [mm] \gamma (g_1, \gamma (g_1,x)) [/mm] für alle [mm] g_i\in [/mm] G, [mm] x\in [/mm] M,
so heißt [mm] \gamma [/mm] "Gruppenwirkung von G auf M".
Das [mm] \gamma [/mm] Deiner Aufgabenstellung ist nach Voraussetzung solche eine Gruppenwirkung.
Diese zweistellige Verknüpfung wird oft mit einem "Malpunkt" * bezeichnet. Ist [mm] \circ [/mm] die Verknüpfung in G, so sehen die beiden Bedingungen dann so aus:
i) [mm] 1_G*x=x [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] M
ii) [mm] (g_1\cirg g_2)*x=g_1*(g_2*x).
[/mm]
Du solltest jetzt unbedingt mal nachschauen, wie Ihr es in der Vorlesung aufgeschrieben habt.
Mithilfe einer Gruppenwirkung [mm] \gamma [/mm] habt Ihr dann in der Vorlesung für ein [mm] g\in [/mm] G eine Bijektion [mm] \gamma_g [/mm] von M definert:
[mm] \gamma_g:M\to [/mm] M
[mm] \gamma_g(x):=\gamma(g,x).
[/mm]
In Deiner Aufgabe ist nun die Abbildung [mm] \beta [/mm] zu betrachten.
Sie bildet jedes Element von G auf eine Bikektion von M ab, nämlich so:
[mm] \beta: G\to [/mm] Bij(M)
[mm] \beta(g):=\gamma_g.
[/mm]
Und nun kommen wir zum Arbeitsauftrag a): Du mußt vorrechnen, daß [mm] \beta [/mm] ein Homomorphismus ist.
Was ist also für [mm] \beta [/mm] zu zeigen?
> aber was ist in diesem Fall [mm]\gamm(a)[/mm] mit a [mm]\in[/mm] G? Ich
> blick nicht mehr durch!
Ich auch nicht: ich weiß nicht, wovon Du hier gerade sprichst...
Gruß v. Angela
>
> Ich wäre für Hilfe seeeeehr dankbar!
> Grüßle
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also, ich hab das jetzt halbwegs gecheckt, dass ich einfach nur [mm] \gamma (a\*b)=\gamma(a)\circ\gamm(b) [/mm] zeigen muss.
aber ich komme nicht ganz druaf! kann mir da noch jemand helfen?
und die b)? was muss ich da machen?
Grüßle
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> also, ich hab das jetzt halbwegs gecheckt, dass ich einfach
> nur [mm]\gamma (a\*b)=\gamma(a)\circ\gamm(b)[/mm] zeigen muss.
Hallo,
ich frage mich nun wirklich ein wenig, wie gründlich und wie lange Du Dich mit meinem Post beschäftigt hast...
Du gehst enttäuschend wenig auf das ein, was ich Dir geschrieben habe.
Das [mm] \gamma [/mm] in Deiner Aufgabe ist eine Gruppenwirkung.
Was meinst Du oben mit a und b?
Wie lautet die Frage in Aufg. a)?
Was mußt Du also zeigen?
> aber ich komme nicht ganz druaf!
Das deutet daraufhin, daß Du doch schon einiges überlegt hast und irgendwo steckengeblieben bist.
Zeig mal, was Du getan hast, wie weit Du gekommen bist und formuliere Dein Problem konkret.
> kann mir da noch jemand
> helfen?
Bestimmt. Wenn wir erstmal sehen, welcher Art die von Dir entwickelten Aktivitäten sind.
> und die b)? was muss ich da machen?
Nun, dort ist solch eine Bijektion zwischen der Menge der Gruppenwirkungen [mm] G\times M\to [/mm] M und den Homomorphismen [mm] G\to [/mm] Bij(M)und anzugeben und nachzuweisen, daß die angegebene Abbildung eine ist.
Die Abbildung muß also jeder Gruppenwirkung einen Homomorphismus [mm] G\to [/mm] Bij(M) zuordnen, und zwar eineindeutig.
Gruß v. Angela
>
> Grüßle
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